Chapter 2 第一节导数 导数的概念 二、导数的几何意义 三、导数的经济意义 四、函数的可导与连续
第一节 导 数 Chapter 2 一、导数的概念 二、导数的几何意义 三、导数的经济意义 四、函数的可导与连续
、导数的概念 1、变速直线运动的瞬时速度问题 设一物体作变速直线运动,运动的位置函数 为s=s(),求在时刻zo的瞬时速度(t) Os(t)s(10+△)s 在时刻0到t+Mt的时间间隔内平均速度 pAs_S(to+△)-S(t0) △t △t 如果当Δ→0时,上式的极限存在,则 △s y(to)=lim=lim s(t+△r)-S(to) △t→>0 △t→>0 △t Economic- mathematics 21-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 2 Wednesday, February 24, 2021 1、变速直线运动的瞬时速度问题 ( ) ( ) t S t t S t t S V + − = = 0 0 如果当t → 0时，上式的极限存在，则 ( ) ( ) t S t t S t t S V t t t + − = = → → 0 0 0 0 ( 0 ) lim lim 设一物体作变速直线运动，运动的位置函数 为 S = S(t) ,求在时刻 t 0 的瞬时速度 V(t 0 ) 。 在时刻 t 0 到 t 0 + t 的时间间隔内,平均速度 一、导数的概念 O s(t0 ) s(t0 +t) s
、导数的概念 2、收益对销售量的变化率一边际收益 设商品的总收入(收益)R是销售量的函数 R=R(O 当销售量q由q到q+△g时,总收入R的改变量为 △R=R(q0+△q)-R(q0) 总收入的平均变化率是 △RR(q0+△q)-R(q0) △ △q Economic- mathematics 21-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 3 Wednesday, February 24, 2021 一、导数的概念 2、收益对销售量的变化率－边际收益 q R q q R q q R R R q q R q q q q q R R R q R + − = = + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 0 0 0 0 0 0 总收入的平均变化率是 当销售量 由 到 时，总收入 的改变量为 设商品的总收入（收益） 是销售量的函数
、导数的概念 2、收益对销售量的变化率一边际收益 当△q→>0时,如果极限 lim R(q0+△q)-R(q) △q→>0 △q 存在,则称此极限值为销售量q=q时总收入R的 变化率,这一变化率也称为边际收益。 Economic- mathematics 21-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 4 Wednesday, February 24, 2021 . ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 变化率，这一变化率也称为边际收益。 存在，则称此极限值为销售量 时总收入 的 当 时，如果极限 q q R q R q q R q q q = + − → → 一、导数的概念 2、收益对销售量的变化率－边际收益
、导数的概念 变速直线运动的瞬时速度问题 已知运动方程s=s(t), 共同点: △S S(t+△)-S(n) 函数的增量 V(to)=lim lim M→>0△tM→>0 △t 与自变量的 2、收益对销售量的变化率一边际收益增量的比值 已知收益函数R=R(q 当自变量的 增量趋于零 边际收益=lim(+△q)-R() 时的极限。 △a→>0 Economic- mathematics 21-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 5 Wednesday, February 24, 2021 共同点： 函数的增量 与自变量的 增量的比值 当自变量的 增量趋于零 时的极限。 1、变速直线运动的瞬时速度问题 一、导数的概念 ( ) ( ) t S t t S t t S V t t t + − = = → → 0 0 0 0 0 ( ) lim lim 已知运动方程 s = s(t), 已知收益函数R = R(q) 2、收益对销售量的变化率－边际收益 q R q q R q q + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 边际收益＝
、导数的概念 3、函数在某一点处的导数 设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 当自变量x在x处取得增量Δx(点x+△x仍在该 邻域内)时,相应地函数y取得增量 y=∫(x0+△x)-f(x0); 如果y与△x之比当Δx→0时的极限存在则称 函数y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=(x)在点x处的导数,记为y1x=xn Economic- mathematics 21-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 6 Wednesday, February 24, 2021 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , ( ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x y x x y f x x f x y x x x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 函 数 在 点 处可导 并称这个极限为函 如 果 与 之比当 时的极限存在 则 称 邻域内 时 相应地函数 取得增量 当自变量 在 处取得增量 点 仍在该 设函数 在 点 的某个邻域内有定义 3、函数在某一点处的导数 一、导数的概念
戈 df(x) 即 lim △y im f(x0+△x)-∫(x0) y|x=xo△r→0△x△x→>0 △ 其它形式f(x1)=lim f(x0+h)-f(x0) h f(xo)=lim f(x)-f(x0) x→x x-d Economic- mathematics 21-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 7 Wednesday, February 24, 2021 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) ( ) , x x0 x x0 x x0 dx d f x dx dy f x = = = 或 即
(1)左导数 ∫(x0)=lim f(x)-f(o)= lim f(o+ 4x)-f(o) x→x0 x- △r (2)右导数 f(x0)=limf(x)-f(x=mim∫(xn+△x)-f(x x→x x-x Ax→0+ △ 函数f(x)在点x处可导台左导数f(x0)和右 导数f(x0)都存在且相等 Economic- mathematics 218 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 8 Wednesday, February 24, 2021 (2)右导数 (1)左导数 ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = − → − → − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = + → + → + 函数 f (x)在点 0 x 处可导 左导数 ( ) 0 f x − 和右 导数 ( ) 0 f x + 都存在且相等
4、导函数(函数在某一区间内的导数) 如果函数y=∫(x)在区间a,b)内每一点都可导 则称函数y=∫(x)在区间a,b)内可导 这时,对区间a,b内每一个x,都有一个导数值 f(x)与之相对应,即f(x)也是x的一个函数,称其为 函数y=f(x)在区间a,b的一阶导函数,简称导数 记作y,或f(x,或中或“① dx lim f∫(x+△x)-f(x) Ar→>0 △ Economic- mathematics 21-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 9 Wednesday, February 24, 2021 4、导函数（函数在某一区间内的导数） ( ) ( , ) . ( ) ( , ) , 则称函数 在区间 内可导 如果函数 在区间 内每一点都可导 y f x a b y f x a b = = 函 数 在区间 内的一阶导函数，简称导数。 与之相对应，即 也 是 的一个函数，称其为 这时，对区间 内每一个 ，都有一个导数值 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) y f x a b f x f x x a b x = . ( ) , ( ), dx d f x dx dy 记 作 y 或 f x 或 或 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即
4、导函数(函数在某一区间内的导数) 如果函数y=f(x)在区间a,b)内每一点都可导 则称函数y=∫(x)在区间(a,b)内可导 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及/(b) 都存在,就说f(x)在闭区间a,b]上可导 Economic- mathematics 21-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 21 - 10 Wednesday, February 24, 2021 4、导函数（函数在某一区间内的导数） ( ) ( , ) . ( ) ( , ) , 则称函数 在区间 内可导 如果函数 在区间 内每一点都可导 y f x a b y f x a b = = 如果 f (x)在开区间(a,b)内可导，且f (a) + 及f (b) − 都存在，就说 f (x)在闭区间a,b上可导