Chapter 2 第三节函数的连续性 函数的改变量 二、函数连续性的定义 三、函数的问断点 四、初等函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质
第三节 函数的连续性 Chapter 2 一、函数的改变量 四、初等函数的连续性 三、函数的间断点 五、闭区间上连续函数的性质 二、函数连续性的定义
、函数的改变量 设函数y=f(x)在点x0的某邻域上有定义,当自变量 x由x0变到x+△x时,函数y相应由f(x0)变到 ∫(x0+△x),则称Δx为自变量的改变量,而 y=∫(x0+△x)-f(x0)为函数的改变量 y=f(r) △ △x 0 xa+△xx Economic--mathematics 19-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 2 Wednesday, February 24, 2021 x y 0 x0 x0 + x y = f (x) x y 一、函数的改变量 设函数y= f(x)在 点 x0 的某邻域上有定义，当自变量 x 由 x0 变 到 x0 + x 时 ，函数 y 相 应由 ( ) x0 f 变 到 ( ) f x0 + x ，则称 x 为 自 变 量 的 改 变 量 ， 而 ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f 为函数的改变量
二、函数连续性的定义 定义1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义, 如果自变量的改变量△x=x-x趋于零时,对应的函数 改变量也趋于零,即 im△y=im[f(x0+△x)-f(x0)=0 △x→>0 △x→>0 则称函数f(x)在点x0是连续的 设x=x+△x,Ay=f(x)-f(x0 △x→>0就是x→x0,y→>0就是f(x)→f(x0) im[f(x)-f(x1)=0从而imf(x)=f(x) x→xo Economic--mathematics 19-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 3 Wednesday, February 24, 2021 , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f 定义 1 设函数y = f (x)在点 x0 的某邻域内有定义， 如果自变量的改变量x = x − x0趋于零时，对应的函数 改变量也趋于零，即 lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = + − = → → y f x x f x x x 则称函数 f (x)在点 0 x 是连续的． lim ( ) ( 0 ) 0 0 − = → f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 从而 二、函数连续性的定义
定义2设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 若limf(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x处连续 单侧连续 若limf(x)=∫(x),则称函数在x处左连续, x→x0 若limf(x)=∫(x),则称函数在x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续 Economic--mathematics 19-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 4 Wednesday, February 24, 2021 定义 2 设函数 y = f (x)在点x0 的某邻域内有定义， 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → ，则称函数 f (x)在点x0 处连续． 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − ，则称函数在 x0 处左连续, 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + ，则称函数在 x0 处右连续. 单侧连续 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x
如果∫(x)在区间(a,b)内每一点都是连续的,就称 f(x)在区间(a,b)内连续.若f(x)在(a,b)内连续,在 x=处右连续,在x=b处左连续,则称f(x)在a,b上 连续.连续函数的图形是一条连续不断的曲线 Economic--mathematics 19-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 5 Wednesday, February 24, 2021 如 果 f (x)在区间(a,b)内每一点都是连续的，就称 f (x)在区间(a,b)内连续．若 f (x)在(a,b) 内连续，在 x = a处右连续，在x = b处左连续，则称 f (x)在[a,b]上 连续. 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．
例1证明函数y=2x+1在x=1处连续 证Δy=2(x+△x)+1-[2x+1 2△v ∴当Δx→0时,Δy→>0 ∴函数p=2x+1在x=1处连续 Economic--mathematics 19-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 6 Wednesday, February 24, 2021 例1 证明函数 y = 2x＋1在x = 1处连续. 证 y = 2(x + x)＋1− 2x＋1 = 2x 当x → 0时,y → 0. 函数 y = 2x＋1在x = 1处连续
三、函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件: (1)f(x)在点x处有定义; (2)limf(x)存在; x→x (3)imf(x)=f(x0) x-x 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则 称函数f(x)在点x处不连续(或间断),并称点x0 为∫(x)不连续点(或间断点) Economic--mathematics 19-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 7 Wednesday, February 24, 2021 ( ) : 函数 f x 在点x0处连续必须满足的三个条件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 为 的不连续点 或间断点 称 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 f x f x x x 三、函数的间断点
例2讨论函数∫(x)= x,x≤0, 在x=0处的连续性 +x,x>0. 解lim∫(x)=0,limf(x)=1, x→>0 x→0 imf(x)≠limf(x) x→0 x→0 ∴x=0为函数的间断点 Economic--mathematics 19-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 8 Wednesday, February 24, 2021 例2 0 . 1 , 0, , 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 + − = x x x x x f x 解 lim ( ) 0, 0 = → − f x x x = 0为函数的间断点. o x y lim ( ) 1, 0 = → + f x x lim ( ) lim ( ), 0 0 f x f x x x → − → +
例3当a取何值时, cosx. x<o 函数f(x) 在x=0处连续 a+x,x≥0, 解∵∫(0)=a, lim f(x)=lim x= 1, x→0 x→0 lim f(x=lim(a+x)=a, 要使∫(0-0)=f(0+0)=f(0),→a=1, 故当且仅当a=1时,函数f(x)在x=0处连续 Economic--mathematics 19-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 9 Wednesday, February 24, 2021 例3 0 . , 0, cos , 0, ( ) , 函数 在 处连续 当 取何值时 = + = x a x x x x f x a 解 f x x x x lim ( ) limcos 0 0 → − → − = = 1, lim ( ) lim( ) 0 0 f x a x x x = + → + → + = a, f (0) = a, 要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0), 故当且仅当 a = 1时, 函数 f (x)在x = 0处连续. a = 1
四、初等函数的连续性 1、连续函数的运算 根据极限的四则运算浏及连续函数的定义,立即可得 定理1如果f(x)g(x)都在点x处连续则函数(x)±g(x X) f(x)g(x), (g(x)≠0)在x0处也连续 g(r) 例如,sinx和cosx在(-∞,+)内连续 tanx,secx在x≠k兀+时连续;cotx,ccx在x≠k时连续 2 三角函数在其定义域连车续 Economic--mathematics 19-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic--mathematics 19 - 10 Wednesday, February 24, 2021 1、连续函数的运算 ( ( ) 0) . ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) , ( ) ( ), 0 0 在 处也连续 如 果 都在点 处连续 则函数 g x x g x f x f x g x f x g x x f x g x 根据极限的四则运算法则及连续函数的定义，立即可得 例如，sin x和cos x在 (− , + )内连续， ; 2 tan ,sec 在 k 时连续 x x x + cot x , cscx 在 x k 时连续 . 三角函数在其定义域内连续. 四、初等函数的连续性 定理1
