Chapter 2 第二节导数的运算 一、基本初等函数的导数 二、反函数求导法则 三、导数的四则运算法则 四、复合函数求导法则 五、隐函数求导法则 六、高阶导数
第二节 导数的运算 Chapter 2 一、基本初等函数的导数 三、导数的四则运算法则 二、反函数求导法则 四、复合函数求导法则 六、高阶导数 五、隐函数求导法则
、基本初等函数的导数 根据导数的定义,求函数的导数有以下几个步骤: 步骤:(1)求增量△y=f(x+△x)-f(x) (2)算比值4_f(x+△x)-f(x) △ △v (3)求极限 △ △x→>0△x Economic-mathematics 31-2 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、基本初等函数的导数 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y + − = 算比值 (3) lim . 0 x y y x = → 求极限 根据导数的定义，求函数的导数有以下几个步骤：
例1求函数f(x)=C(C为常数的导数 #E '(x)=lim/(x+)-/(x)=lim 0 →>0 h→>0 即() Economic-mathematics 31-3 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 3 Wednesday, February 24, 2021 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 即 (C) = 0
例2设函数∫(x)=sinx,求sinx)及sinx)yx 1 Ff f(r)=lim ff(x+h)-f(x) h→>0 lim sin(x +h)-sinx 2cos(x+)·sin lim h→>0 h h SIn lim cos(x+。)2 h→>0 h=cos x 2 (sin x)=cos x. ∴(sinx)x= cosx 2 Economic-mathematics 31-4 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 4 Wednesday, February 24, 2021 例2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 = = x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x h sin( ) sin lim 0 + − = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x. 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos = = = x x x x . 2 2 = h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h h x h 2 ) sin 2 2cos( lim 0 + = →
例3求函数y=x"(m为正整数的导数 解f(x)=lim f∫(x+h)-f(x) (x+h)"-x h→>0 h→0 h =mh-1,n(n-1) h→0 2!x"h+…+h"-1 即(x") 更一般地(x)=x-1.(∈R) 例如,(x)y=(x2)=1x (x-)=(-1)x Economic-mathematics 31-5 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 5 Wednesday, February 24, 2021 例3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n = 解 h x h x n n h + − = → ( ) lim 0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx −1 = n nx ( ) . −1 = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x = x R − ( ) ( ) 2 1 例如, x = x 1 2 1 2 1 − = x . 2 1 x = ) ( ) 1 ( 1 = − x x 1 1 ( 1) − − = − x . 1 2 x = − h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →
、反函数的导数 定理如果函数x=p(y)在某区间I内单调、可导 且q(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 内也可导,且有 f(r) p() 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 Economic-mathematics 31-6 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 6 Wednesday, February 24, 2021 二、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) y f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且 有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
例4求函数y= loga x的导数 解∵x=a"在I,∈(-∞,+∞内单调、可导, 且(a3)=a"na≠0,∴在Ix∈(0,+∞)内有, (oga x) (a) a Ina xIna 特别地(nx)= Economic-mathematics 31-7 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 7 Wednesday, February 24, 2021 例4 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a lna 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =
例5求函数y= arcsinx的导数 解∵x=sim在l∈( T兀 内单调、可导 22 且 (sin y)=c0sy>0,∴在2∈(-1,1内有 (arcsin x) (siny)cosy√l-sin 同理可得 arccos) 2 arctan)=I 1+x (arccot x) 1+x Economic-mathematics 31-8 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 8 Wednesday, February 24, 2021 例5 求函数 y = arcsinx的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
、函数的和差积商的求导法则 定理如果函数u(x),v(x)在点x处可导,则它 们的和、差、积、商分母不为零在点x处 也可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=u(x)±v(x); (2)[u(x)·v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); (x)_u(x)v(x)-u(x)(x) (3)[ (v(x)≠0) v(x) v x Economic-mathematics 31-9 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 9 Wednesday, February 24, 2021 定理 也可导 并 且 们的和、差、积、商 分母不为零 在 点 处 如果函数 在 点 处可导 则 它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 三、函数的和差积商的求导法则
推论 u1(x)±u2(x)土…±un(x) l(x)±u2(x)±…±un(x) 2.[1(x)l2(x)…un(x) ∑(x)a2(x)“(x)…un(x) 3.[C(x)=Cu(x); vX v(x v X Economic-mathematics 31-10 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 10 Wednesday, February 24, 2021 推论 . ( ) ( ) ] ( ) 1 4. [ 2 v x v x v x = − 3. [Cu(x)] = Cu(x); ( ) ( ) ( ) 1. [ ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 u x u x u x u x u x u x n n = = = n i i n n u x u x u x u x u x u x u x 1 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2. [ ( ) ( ) ( )]
