Chapter 4 第一节微分中值定理 微分中值定理 罗彼塔法贝
第一节 微分中值定理 Chapter 4 一、微分中值定理 二、罗彼塔法则
、微分中值定理 1、罗尔( Rolle)定理 罗尔简介 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间a,b上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少有一点5,使得:∫(ξ)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). 在-131上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0, ∫(x)=2(x-1),取ξ=1,(l∈(-1,3)∫'(2)=0 Economic-mathematics 27-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 2 Wednesday, February 24, 2021 一、微分中值定理 1、 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)满足 （1）在闭区间 [a,b]上连续, （2）在开区间 (a,b)内可导, （3） f (a) = f (b), 那么在(a,b)内至少有一点 ,使得: ( ) 0 ' f = 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. 罗尔简介
几何解释: y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有 ……-… 点C,在该点处的切线是 水平的f()=0da2bx 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结 论可能不成立 例如,f(x)=x,x∈[-2,2; f(x)在-2,2]上连续,f(-2)=f(2),f(0不存在 但在内找不到一点能使f(x)=0 Economic-mathematics 273 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 3 Wednesday, February 24, 2021 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C 注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结 论可能不成立. 例如, f (x) = x , x[−2,2]; f (x)在[−2，2]上连续，f (−2) = f (2), f (0)不存在. 但在内找不到一点能使f (x) = 0. ( ) 0 ' f =
又例如, 0.8 1-x,x∈(0,l f(r) 0.6 0,x=0 0.4 f(0)=f(1),(0,1)内可 0.2 导,但f(x)在[0,1上不连续 再如,y=x,x∈[0,1 0.8 f(x)在[0,1上连续, 0.6 (0,1)内可导但 0.4 f(0)≠∫(1), 0.2 Economic-mathematics 27-4 Wednesday, February 24, 202
Economic-mathematics 27- 4 Wednesday, February 24, 2021 • = − = 0 , 0; 1 , (0,1], ( ) x x x f x y = x, x[0,1]. 又例如, , ( ) [0 1] . (0) (1), (0,1) 导 但 在 ， 上不连续 内可 f x f = f (0) (1), (0,1) , ( ) [0 1] , f f f x 内可导 但 在 ， 上连续 再如
、微分中值定理 2、拉格朗日( Lagrange)中值定理 如果函数f(x)满足: 拉格朗日简介 (1)在闭区间|a,b上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点5,使得 ∫(b)-f(a)=f()(b-a)。 结论亦可写成f(5f(b)-f(a) b Economic-mathematics 27-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 5 Wednesday, February 24, 2021 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f ( x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续, （2）在开区间(a,b)内可导, 那么在(a,b)内至少有一点 ，使得 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 。 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − 结论亦可写成 = 一、微分中值定理 拉格朗日简介
几何解释: y=∫(x) B 在曲线弧AB上至少有 点C,在该点处的切 D 线平行于弦AB 0 a f(2)= f(b)-f(a b-a 推论如果函数∫(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一个常数 Economic-mathematics 27-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 6 Wednesday, February 24, 2021 o a 1 2 b x y y = f (x) A B C D 几何解释: . , AB C AB 线平行于弦 一点 在该点处的切 在曲线弧 上至少有 ( ) . ( ) , 那 么 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I 推论 f x I . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − = 动画
、微分中值定理 3、柯西( Cauchy)中值定理柯西简介 如果函数∫(x)与g(x)满足: (1)在闭区间[a,b上连续, (2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0, 则在(a,b)内至少存在一点5,使得 ∫()f(b)-f(a) g(2)g(b)-g(a) Economic-mathematics 277 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 7 Wednesday, February 24, 2021 3、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)与g( x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续, （2）在开区间(a,b)内可导,且 ( ) 0 ' g x ， 则在(a,b)内至少存在一点 ,使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' g b g a f b f a g f − − = 。 一、微分中值定理 柯西简介
几何解释: X=g(r) l=f(x) 在曲线弧AB上至少有 B 点C(g(4),f(4),在 该点处的切线平行于 D 弦AB. 0Fa)F(5) F(S2F(6)x x=g(t) y=/1sq≤t≤b f(s f(b)-f(a (g(a),f(a),B(g(b),f(b)g(5)8(b)-8(a) Economic-mathematics 278 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 8 Wednesday, February 24, 2021 ( ) 1 F ( ) 2 o F x y = = ( ) ( ) Y f x X g x F(a) A F(b) B C D 几何解释: . ( ( ), ( )), AB C g f AB 弦 该点处的切线平行于 一点 在 在曲线弧 上至少有 ( ( ), ( )), ( ( ), ( )) , ( ) ( ) A g a f a B g b f b a t b y f t x g t = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' g b g a f b f a g f − − =
小结 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间 的关系; Role (a)=f(b) Lagrange/8(r)=x Cauchy 定理 中值定理 中值定理 注意三个定理的条件和结论以及各自的应用。 Economic-mathematics 279 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 9 Wednesday, February 24, 2021 小 结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 f (a) = f (b) g(x) = x 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间 的关系； 注意三个定理的条件和结论以及各自的应用
二、罗彼塔法则 1、型及—型未定式解法 0 ● 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x) 与g(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 imf(x)称为或型未定式 (xe)8(x) 0 ● tanx In sin ax 0● 例如,im lim x→ x→>0 In sin bx ● Economic-mathematics 27-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 27- 10 Wednesday, February 24, 2021 、型及 型未定式解法 0 0 1 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) , ( ) , ( ) ( ) 称 为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那么极限 如果当 或 时 两个函数 → → → → g x f x g x x a x f x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( ) 二、罗彼塔法则