Chapter 4 第四节导数在经济上的应用 边际函数与边际分析 二、弹性与弹性分析
第四节 导数在经济上的应用 Chapter 4 一、边际函数与边际分析 二、弹性与弹性分析
、边际函数与边际分析 1、边际成本 设生产x个单位的产品的总成本函数为C(x), 边际成本就是C(x)。其经济意义是:当产量为个 单位时,再增加一个单位的产品总成本的近似增量。 2、边际收入 设商品的销售量为x个单位时,总收入函数为 R(x),边际收入就是R(x)。其经济意义是:当销 售量为x个单位时,再增加一个单位的销售量时总 收入的近似增量。 Economic-mathematics 9.2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 2 Wednesday, February 24, 2021 一、边际函数与边际分析 1、边际成本 设生产x 个单位的产品的总成本函数为C( x) ， 边际成本就是C'( x)。其经济意义是：当产量为x 个 单位时，再增加一个单位的产品总成本的近似增量。 2、边际收入 设商品的销售量为x 个单位时，总收入函数为 R( x)，边际收入就是R'( x)。其经济意义是：当销 售量为x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总 收入的近似增量
3、边际利润 设商品的销售量为x个单位时,总利润函数为 L(x),边际利润就是L(x)。其经济意义是:当销售 量为x个单位时,再增加一个单位的销售量时总利润 的近似增量。 因为 L(x)=R(x)-C(x) 所以L'(x)=R'(x)-C'(x), 即边际利润是边际收入与边际成本之差。 Economic-mathematics 9-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 3 Wednesday, February 24, 2021 3、边际利润 设商品的销售量为x 个单位时，总利润函数为 L( x)，边际利润就是L'( x)。其经济意义是：当销售 量 为x 个单位时，再增加一个单位的销售量时总利润 的近似增量。 因 为 L( x) = R( x) − C( x) 所 以 L'( x) = R'( x) − C'( x)， 即边际利润是边际收入与边际成本之差
例1某产品生产x吨时总成本函数为 C(x)=1000+30√x+9x,(0≤x≤1000)(元), 求: (1)当产量为100吨时的总成本; (2)当产量为100吨时的平均单位成本; (3)当产量从100吨增加到196吨时总成本的平均变化率; (4)当产量为100吨时总成本的边际成本。 解(1)C(100)=1000+30100+9×100=2200; 即生产100吨时的总成本为2200元。 (2)产量为100吨时的平均单位成本是 C(100)2200 =22(元/吨)。 100 100 (3)△C=C(196)-C(100)=1000+30√196+9×196-2200=984; 所以,当产量从100吨增加到196吨时总成本的平均变化率是 △C984 10.25(元/吨)。 Economic-manuemati96 9-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 4 Wednesday, February 24, 2021 例 1 某产品生产x 吨时总成本函数为 C( x) = 1000 + 30 x + 9 x , (0 x 1000)（元）， 求 ： （1） 当产量为 100 吨时的总成本； （2） 当产量为 100 吨时的平均单位成本； （3） 当产量从 100 吨增加到 196 吨时总成本的平均变化率； （4） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本。 解 （1）C(100) = 1000 + 3 0 100 + 9 100 = 2200； 即生产 100 吨时的总成本为 2200 元 。 （2）产量为 100 吨时的平均单位成本是 22 100 2200 100 (100) = = C （元／吨）。 （3）C = C(196) − C(100) = 1000 + 30 196 + 9196 − 2200＝984； 所以，当产量从 100 吨增加到 196 吨时总成本的平均变化率是 10.25 96 984 = = x C （元／吨）
例1某产品生产x吨时总成本函数为 C(x)=1000+30√x+9x,(0≤x≤1000)(元), 求: (1)当产量为100吨时的总成本; (2)当产量为100吨时的平均单位成本; (3)当产量从100吨增加到196吨时总成本的平均变化率; (4)当产量为100吨时总成本的边际成本。 15 4)C"(x)=+9 所以生产100吨时的边际成本是 15 C'(100)= +9=10.5(元) 100 说明当产量在100吨的基础上,每增产1吨时,所增加的总 成本为10.5元。 Economic-mathematics 9-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 5 Wednesday, February 24, 2021 （4） 9, 15 '( ) = + x C x 所以生产 100 吨时的边际成本是 9 10.5 100 15 C'(100) = + = （元） 说明当产量在 100 吨的基础上，每增产 1 吨时，所增加的总 成本为 10.5 元 。 例 1 某产品生产x 吨时总成本函数为 C( x) = 1000 + 30 x + 9 x , (0 x 1000)（元）， 求 ： （1） 当产量为 100 吨时的总成本； （2） 当产量为 100 吨时的平均单位成本； （3） 当产量从 100 吨增加到 196 吨时总成本的平均变化率； （4） 当产量为 100 吨时总成本的边际成本
例2某工厂每天生产某产品x吨时的总利润为 L(x)=120x-3x, 求每天产量为15吨,20吨及25吨时的边际利润,并说明其 经济意义。 解边际利润为 L'(x)=120-6x; 每天生产15吨、20吨、25吨时的边际利润为 L(15)=120-6×15=30 L(20)=120-6×20=0; L'(25)=120-6×25=-30; 经济意义:每天生产15吨时,再生产1吨,总利润增加 30元;每天生产20吨时,再生产1吨,总利润不增加; 每天生产25吨时,再增加1吨,总利润减少30元。 Economic-mathematics 9-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 6 Wednesday, February 24, 2021 例 2 某工厂每天生产某产品x 吨时的总利润为 2 L( x) = 120 x − 3x , 求每天产量为 15 吨 ，20 吨 及 25 吨时的边际利润，并说明其 经济意义。 解 边际利润为 L'( x) = 120 − 6x； 每天生产 15 吨 、20 吨 、25 吨时的边际利润为 L'(15) = 120 − 615 = 30； L'(20) = 120 − 6 20 = 0； L'(25) = 120 − 6 25 = −30； 经济意义：每天生产 15 吨时，再生产 1 吨，总利润增加 30 元；每天生产 20 吨时，再生产 1 吨，总利润不增加； 每天生产 25 吨时，再增加 1 吨，总利润减少 30 元
二、弹性与弹性分析 1.绝对变化率和相对变化率 已知变量y,它在某点处的改变量△y称为绝对改变量。绝对 △ 改变量Ay与变量y在该点处的值的比称为相对改变量。 2、函数的弹性 设函数y=∫(x)在处可导。如果极限limy △r→>0 存在,称此极限为函数f(x)在点处的弹性,记为:,即 △ 可见函数的弹性是函数的 相对改变量与自变量的相对 n=Ax改变量比值的极限,它是函 x数的相对改变率 Economic-mathematics 9-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 7 Wednesday, February 24, 2021 二、弹性与弹性分析 1．绝对变化率和相对变化率 已知变量y ，它在某点处的改变量y 称 为绝对改变量。绝对 改变量y与变量y 在该点处的值的比 y y 称 为相对改变量。 2、函数的弹性 设函数 y = f ( x)在x 处可导。如果极限 x x y y x →0 lim 存在，称此极限为函数 f ( x)在 点x 处的弹性，记为： ，即 x x y y x = →0 lim 可见函数的弹性是函数的 相对改变量与自变量的相对 改变量比值的极限，它是函 数的相对改变率
△ 容易推出 7=im=lim4”,x f"(x) Ar→>0 △xx→0△x J 即函数的弹性的计算公式为 ∫"(x) n=x 函数f(x)在点x的弹性,表示f(x)在点处的相对 变化率。它近似地表示当自变量x产生1%的改变时,f(x) 变化的百分数 根据函数弹性的定义,需求函数Q=2()的弹性们=PQ(P e(P) 它表示价格P每变动1%,需求量改变%。类似地,供给函数 S=S(p)的弹性为三、S(P),其经济意义与需求函数相同。 S(P) Economic-mathematics 9-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 8 Wednesday, February 24, 2021 容易推出 y f x x y x x y x x y y x x '( ) lim lim 0 0 = = = → → ； 即函数的弹性的计算公式为 y f x x '( ) = 。 函 数 f ( x)在 点x 的弹性，表示 f ( x) 在 点x 处的相对 变化率。它近似地表示当自变量x 产 生 1％的改变时，f ( x) 变化的百分数。 根据函数弹性的定义，需求函数Q = Q( p)的弹性为 ( ) '( ) Q p Q p = p ， 它表示价格 p每变动 1％，需求量改变 ％。类似地，供给函数 S = S( p)的弹性为 ( ) '( ) S p S p = p ，其经济意义与需求函数相同
例3某商品的需求量Q=Q(p)与价格P之间的关系为 Q(p)=800()”; (1)求需求弹性; (2)当价格为10元时的需求弹性。 解(1)根据弹性的计算公式,需求弹性为 800(2)2800(2In n=p. P 55=pl≈-1.61p 800() 800()2 需求弹性为负数,说明商品价格p增加1%时,需求量Q将 减少1.61% (2)当价格P=10(元)时,需求弹性为 7(10)=-1.61×10=161 这表明价格卩=10元时,价格增加1%,需求量将减少16.1%。 Economic-mathematics 9-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 9- 9 Wednesday, February 24, 2021 例 3 某商品的需求量 Q = Q( p) 与价格 p 之间的关系为 p Q p ) 5 1 ( ) = 800( ； （1） 求需求弹性； （2） 当价格为 10 元时的需求弹性。 解 （1）根据弹性的计算公式，需求弹性为 p p p p p p ) 5 1 800( 5 1 ) ln 5 1 800( ) 5 1 800( ) ]' 5 1 [800( = = p 1.61 p 5 1 = ln − 。 需求弹性为负数，说明商品价格 p 增 加 1％时，需求量 Q 将 减 少 1.61％ 。 (2) 当价格 p = 1 0（元）时，需求弹性为 (1 0) = −1.6 1 1 0 = 1 6.1； 这表明价格 p = 1 0元时，价格增加 1％，需求量将减少 16 . 1％