Chapter 2 第三节函数的微分 微分的概念 、微分的计算 三、微分的近似计算
第三节 函数的微分 Chapter 2 一、微分的概念 三、微分的近似计算 二、微分的计算
、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x0+Ax, △(Ax)2 20 △x 正方形面积A= △A=(x0+△x)2-x2 A=x02 =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Δx的线性函数且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 Economic-mathematics 18-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 2 Wednesday, February 24, 2021 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到 x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 一、微分的概念
再例如,设函数y=x3在点x处的改变量 为△x时,求函数的改变量Ay △y=(x+△x)3-x0 =3x2,Ax+3xn·(△x)2+(△x) (2) (1):△x的线性函数,且为△4的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略 ∴4y≈3x0·△x.既容易计算又是较好的近似值 Economic-mathematics 18-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 3 Wednesday, February 24, 2021 再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 3 . 2 0 y x x 既容易计算又是较好的近似值 x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2):
定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x及 xo+△x在这区间内,如果 Ay=f(x0+△x)-∫(x0)=A·△x+o(△x) 成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数y=f(x) 在点x可微,并且称A△x为函数y=f(x)在点x 相应于自变量增量Ax的微分,记作 dx=或刂(x,即x=xn=A△x 微分叫做函数增量Ay的线性主部(微分的实质) Economic-mathematics 18-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 4 Wednesday, February 24, 2021 定义 ( ), . , , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d y d f x d y A x x x A x y f x x A x y f x y f x x f x A x o x x x y f x x x x x x = = = = + − = + + = = 或 即 = 相应于自变量增量 的微分 记 作 在 点 可 微 并且称 为函数 在 点 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 及 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
4=f(x+△x)-f(x0)=AAx+0(△x,dx==A△x 由定义知: (1)是自变量的改变量x的线性函数 (2)Δy-dy=0(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,与4y是等价无穷小; ,s1+O(△x) →>1(x→>0) 4·△ (4)当△x很小时,≈(线性主部 (5)A是与x无关的常数但与f(x)和x0有关; Economic-mathematics 18-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 5 Wednesday, February 24, 2021 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (5) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (4)当x很小时,y dy (线性主部). ( ) ( ) ( ), . 0 0 0 y f x x f x A x o x dy A x = + − = + x= x =
定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函数 f(x)在点x处可导,且A=f(x0) 证(1)必要性∵f(x)在点x可微, ∴Δy=A.△x+0(△x), 1ts4+0(△x) △v 则lim △ 0(△x) A+lim A △x→>0△ △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x) Economic-mathematics 18-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 6 Wednesday, February 24, 2021 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函数 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函数 f(x)在点x处可导,且A=f(x0) 证(2)充分性函数f(x)在点x可导, △ △ ∫f'(x),即=f(x0)+ax △x→>0△r △v 从而△y=f(x)·△x+a·(△x),:→>0(△x→>0), =f(x0)·x+0(△x), 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A 可导兮可微.A=f(x0) Economic-mathematics 18-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 7 Wednesday, February 24, 2021 (2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f 定理 证 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 在 点 处可导 且 = 函 数 在 点 可微的充要条件是函数
例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解∵小 =(x)△x=3x2△x 小y=2=3x2△x 0.24. Ax=0.02 △r=0.02 Economic-mathematics 18-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 8 Wednesday, February 24, 2021 例1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3 = = = = = x x x dy x x x = 0.24
几何意义:(如图) 当△y是曲线的纵 坐标增量时,小 M y=f() △J 就是切线纵坐标 对应的增量 0 0x0+△x 当△x很小时,在点M的附近 切线段MP可近似代替曲线段MN Economic-mathematics 18-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 9 Wednesday, February 24, 2021 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近
二、微分的计算 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函 数的微分,记作小或d(x),即小=f(x)△x 当y=x时,dy=dx=(x)△x=△x, 通常把自变量x的增量△x称为自变量的微分 即:ax=△c dy 小y=f(x)x f"(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也呻微商 Economic-mathematics 18-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 18- 10 Wednesday, February 24, 2021 : . , ( ) , d x x x x y x d y d x x x x = = = = = 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 当 时 ， dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分d x之商等于 , ( ), ( ) . ( ) , dy d f x dy f x x y f x x = = 数的微分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函 二、微分的计算