Chapter 4 第三节曲线的凹凸性与拐点 一、曲线凹凸性及其判别法 二、拐点及其求法 三、函数作图
第三节 曲线的凹凸性与拐点 Chapter 4 一、曲线凹凸性及其判别法 二、拐点及其求法 三、函数作图
、曲线凹凸性及其判别法 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(x) y=f(x) J B A 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方 Economic-mathematics 30-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 2 Wednesday, February 24, 2021 一、曲线凹凸性及其判别法 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) 1 x 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
定义设f(x)在(a,b内连续,如果对(a,b)内任意 两点x,x2,恒有∫(+x2f(x)+f(x2 2 2 那么称∫(x)在(a,b肭内的图形是凹的; 如果对(a,b)任意两点x1,x2,恒有 f(+2)>fx)+f(x2) 2 2 那么称f(x)在(a,b)内的图形是凸的; 如果f(x)在a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称f(x)在{a,b内的图形是凹或凸)的; Economic-mathematics 30-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 3 Wednesday, February 24, 2021 定义 ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) ( , ) , ( , ) 1 2 1 2 1 2 那么称 在 内的图形是凹的 两 点 恒 有 设 在 内连续 如果对 内任意 f x a b x x f x f x x x f f x a b a b + + ( ) ( , ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 那么称 在 内的图形是凸的 如果对 内任意两点 恒 有 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
定理1如果∫(x)在la,b上连续在(a,b)内具有 二阶导数,若在(a,b)内 (1)∫"(x)>0,则f(x)在{a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)0 f(x)递减y"<0 Economic-mathematics 30-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 4 Wednesday, February 24, 2021 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 a b B A y 0 f (x) 递减 y 0 定理1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; , ( , ) ( ) [ , ] , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 二阶导数 若 在 内 如 果 在 上连续 在 内具有 f x f x a b f x f x a b a b f x a b a b
例1判断曲线y=x3的凹凸性 解∵y'=3x2,y"=6x, 0.2 当x0时,y>0,∴曲线在0,+∞)为凹的 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点 ● Economic-mathematics 30-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 5 Wednesday, February 24, 2021 例1 . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 解 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时， y 0, 曲线 在(−,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 定理2如果f(x)在(x-8,x+)内存在二阶导 数,则点(x0,f(x)是拐点的必要条件是f(x)=0 证∵f(x)二阶可导,∴f(x)存在且连续, Economic-mathematics 30-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 6 Wednesday, February 24, 2021 二、拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( ) 0 0 " f x = . 1.定义 注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续
定理2如果f(x)在(x-8,x+6)内存在二阶导 数,则点(x0,f(x0)是拐点的必要条件是f(x)=0 证∵f(x)二阶可导,∫(x)存在且连续, 又∵(x0,f(x))是拐点 则∫"(x)=If(x)在x0两边变号, f(x)在x取得极值由可导函数取得极值的条件, f"(x)=0 Economic-mathematics 30-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 7 Wednesday, February 24, 2021 定理 2 如果 f (x)在( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导 数,则点( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必要条件是 ( ) 0 0 " f x = . 证 f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续, ( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) , f x 在x0取得极值由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0
方法: 设函数f(x)在x的邻域内二阶可导,且f"(x0)=0, (1)x两近旁"(x)变号,点(x0,f(x0)即为拐点; (2)x两近旁f(x)不变号,点(x0,f(x0)不是拐点 例f(x)=xx∈(-02+0) f(x)=4x3,f"(x)=12x2≥0f"(0)=0 但(0,0)并不是曲线f(x)的拐点 Economic-mathematics 30-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 8 Wednesday, February 24, 2021 方法: ( ) , ( ) 0, 设函数f x 在x0的邻域内二阶可导 且f x0 = (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 例 4 f (x) = x x(−,+) f (0) = 0 但(0,0)并不是曲线 f (x)的拐点. ( ) 4 , ( ) 12 0 3 2 f x = x f x = x
例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间 解∵D:( 97 y=12x3-12x2,y"=36x(x 令y”"=0,得 3 x(-∞,0)0(0 3 3 + 0 拐点 拐点 ∫(x)凹的 凸的 凹的 (0,1) 2/11 Economic-mathematics 30-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 9 Wednesday, February 24, 2021 例2 3 4 1 . 求曲线 y = x 4 − x 3 + 的拐点及凹、凸的区间 解 D :(−,+) 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = x (−,0) , ) 3 2 ) ( + 3 2 0 (0, 3 2 f (x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 3 2(
2.5 1 0.5 0.5 1 1.5 凹凸区间为(20,10,2323,+∞ Economic-mathematics 30-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 30 - 10 Wednesday, February 24, 2021 , ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为(−,0], [0, +