Chapterl 第二节一元函数的极限 、无穷小与无穷大 二、一元函数极限的概念 、极限的重要性质
第二节 一元函数的极限 Chapter1 一、无穷小与无穷大 二、一元函数极限的概念 三、极限的重要性质
、无穷小与无穷大 1、无穷小 例1:一个单摆的振幅随着时间的增加越变越小 例2:《庄子》中记载:“一尺之棰,日取 其半,万世不竭” 设木棒在第n天的剩余量为u,则un=,即有数列: 2 2222 Economic-mathematics 16-2 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 2 Wednesday, February 24, 2021 1、无穷小 一、无穷小与无穷大 例1：一个单摆的振幅随着时间的增加越变越小。 例2：《庄子》中记载：“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”。 ， ， ，， ， 设木棒在第 天的剩余量为 ，则 ，即有数列： n n n n n u u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 =
定义1.3如果变量a(x)在其随x变化过程中,对 于预先给定的任意小的正数E,总存在那么 个时刻,使得在这时刻之后,恒有不等式 a(x)-0=((x)<E 成立,则称变量(x)为无穷小。 注意:1.无穷小是无限趋于0的变量,不能将 与很小的常数相混。 2零数列是无穷小。 Economic-mathematics 16-3 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 3 Wednesday, February 24, 2021 (x) −0 = (x) 注意：1.无穷小是无限趋于0的变量，不能将它 与很小的常数相混。 2.零数列是无穷小。 定义1.3 如果变量 在其随x变化过程中，对 于预先给定的任意小的正数 ，总存在那么一 个时刻，使得在这时刻之后，恒有不等式 成立，则称变量 为无穷小。 (x) (x)
定理1.1在自变量的同一变化过程中: (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小 (2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小 (3)有界量与无穷小的乘积仍为无穷小。 推论:常数与无穷小的乘积仍为无穷小。 注意:两个无穷小的商不一定是无穷小 Economic-mathematics 16-4 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 4 Wednesday, February 24, 2021 定理1.1 在自变量的同一变化过程中： （1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小。 （2）有限个无穷小的乘积仍为无穷小。 （3）有界量与无穷小的乘积仍为无穷小。 推论：常数与无穷小的乘积仍为无穷小。 注意：两个无穷小的商不一定是无穷小
无穷大 例:y=gx在x无限趋近2时,其绝对值无限 增大。(图略) 定义14如果变量y在它的变化过程中,对于 预先给定的任意大的正数M,总存在那么一个 时刻,使得在这时刻之后,恒有 >M 成立,则称变量y为无穷大量。 注意:无穷大是变量 Economic-mathematics 16-5 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 5 Wednesday, February 24, 2021 2、无穷大 例：y=tgx 在x无限趋近 时，其绝对值无限 增大。（图略） 2 定义1.4 如果变量 y在它的变化过程中，对于 预先给定的任意大的正数M，总存在那么一个 时刻，使得在这时刻之后，恒有 成立，则称变量 y 为无穷大量。 y M 注意：无穷大是变量
定理1.2在自变量的同一变化过程中: (1)有限个无穷大的乘积仍为无穷大。 (2)有界量与无穷大的和仍为无穷大 注意:1.有限个无穷大的代数和不一定是无穷 大。如:x与-x的代数和(x→∞) 2无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大。 如: X. SInX(x→>∞)。 Economic-mathematics 16-6 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 6 Wednesday, February 24, 2021 定理1.2 在自变量的同一变化过程中： （1）有限个无穷大的乘积仍为无穷大。 （2）有界量与无穷大的和仍为无穷大。 注意：1.有限个无穷大的代数和不一定是无穷 大。如：x与-x的代数和（x →∞)。 2.无穷大与有界量的乘积也不一定是无穷大。 如：x·sinx （x →∞)
3、无穷小与无穷大的重要关系互为倒数 定理13如果变量y在某一变化过程中是无穷 大,则在该变化过程中是无穷小;反之, 如果变量y在某一变化过程中是无穷小,且 y≠0,则1在该变化过程中是无穷大。 例如:当n→∞时,是无穷小,则当n→o 时,2为无穷大 Economic-mathematics 16-7 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 7 Wednesday, February 24, 2021 3、无穷小与无穷大的重要关系—互为倒数 定理1.3 如果变量y在某一变化过程中是无穷 大，则 在该变化过程中是无穷小；反之， 如果变量y在某一变化过程中是无穷小，且 y≠0,则 在该变化过程中是无穷大。 y 1 y 1 例如：当n→∞时， 是无穷小，则当n→∞ 时， 为无穷大。 n 2 1 n 2
二、一元函数极限的概念 1、整标函数极限的定义(整标函数即数列) 定义1.5如果n无限增大时,整标函数uln=f(m) 与常数A的差f(n)-A=a为无穷小,则称常数 A为整标函数un=f(n)￥n→∞时的极限,或说 整标函数n=f于A,记作 limf(n)=A或f(n)→>A(n->∞) →) 当整标函数没有极限时,称之为发散的 Economic-mathematics 16-8 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 8 Wednesday, February 24, 2021 二、一元函数极限的概念 u f (n) n = u f (n) n = f (n) − A = 1、整标函数极限的定义（整标函数即数列） 定义1.5 如果 n 无限增大时，整标函数 与常数 A 的差 为无穷小，则称常数 A 为整标函数 当n→∞ 时的极限，或说， 整标函数 收敛于 A，记作 ( ) ( ) ( ) lim = → → → f n A f n A n n 或 u f (n) n = 当整标函数没有极限时，称之为发散的
2、一元函数极限的定义 21自变量变化的两种状态 (1)x→x0=x→x0及x→>x (2)x→0<>x-)+0和x->-∞ 显然,n→∞是x→+∞的特殊情况 Economic-mathematics 16-9 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 9 Wednesday, February 24, 2021 2、一元函数极限的定义 2.1 自变量变化的两种状态 （1）x→ 0 x → − → + 0 0 x x 及x x （2）x→∞ x→+∞和x→-∞ 显然，n→∞是x→+∞的特殊情况
22一元函数极限的定义 定义1.6在自变量的某一变化过程中,如果函数 f(x)与常量A的差 f(x)A=a 为无穷小,则称常量A为函数x)的极限,记作 Limf(x)=A或f(x)→A 注意:这里“lim”表示自变x→x或x→等 里 Economic-mathematics 16-10 Wednesday, February 24, 2021
Economic-mathematics 16 - 10 Wednesday, February 24, 2021 2.2 一元函数极限的定义 定义1.6在自变量的某一变化过程中，如果函数 f(x)与常量A的差 f (x) − A = 为无穷小，则称常量A为函数f(x)的极限，记作 Lim f(x)=A 或f(x) →A. 注意：这里“lim”表示自变 量 x → x0 或x → 等