《高等数学》课程教学资源：二阶常系数非齐次线性

二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0, 通解结构y=Y+y, 常见类型自由项为Pn(x),Pn(x)lex re cos Br, pm( A x)e sin 难点:如何求特解?方法:待定系数法

y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 自由项为 二阶常系数非齐次线性微分方程

f(x)=ePm(x)型 设非齐方程特解为y=Q(x)e代入原方程 (*)Q"(x)+(24+p)Q(x)+(42+p2+q)Q(x)=Pn(x) (1)若λ不是特征方程的根,22+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),y=Qn(x)e; (2)若λ是特征方程的单根, +p九+q=0,2+p≠0, 可设Qx)=xQn(x),y=xQn(x)e;

一、 f ( x ) e Pm ( x ) 型 x = 设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ). ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2  Q x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m ( ) ;x m y Q x e = (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ;x m y xQ x e =

(3)若是特征方程的重根, 22+p+q=0,24+p=0, 可设Q(x)=x2Qn(x),卩=x2Qn(x)ex 综上讨论 「0不是根 设y=xe2gn(x),k={1x是单根, 2λ是重根 注意上述结论可推广到m阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数)

(3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 Q x x Q x 可设 = m ( ) . 2 x m y x Q x e  = 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）

特别地y"+py+gy=Ae e4,λ不是特征方程的根 元2+pλ+q xe是特征方程的单根 2+p e 九是特征方程的重根

特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2

例1求方程y"-3y+2y=xe2的通解 解特征方程r-3r+2=0, 特征根F1=1,n2=2, 对应齐次方程通解Y=cex+c,e2X 入=2是单根,设y=x(Ax+B)e2 代入方程,得2Ax+B+2A=x 2 B=-1 于是 y=rx-1 2x 2 原方程通解为y=Ce2+C2c2+x(3x-1)e2 2

例1 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， 对应齐次方程通解 , 2 1 2 x x Y = c e + c e  = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e

例2求通解y+6y+9y=5xe3 解特征方程r2+6+9=0 特征根 r1=2=-3 齐通解Y=(1+c2x)e3x =-3是重根∴可设y=x2(Ax+B)e3x ap 2(x)=Ax+Bx o(x)=3Ax4+2Bx Q"(x)=64x+2B代入(*)式 6Ax+2B=5x→A=5,B=0→y=x3e-3x 5 非齐通解为 y=(1+c2x+x3)e-3x 6

求通解 x y y y xe 3 6 9 5 −  +  + = 解 特征方程 6 9 0 2 r + r + = 特征根 3 r1 = r2 = − 齐通解 x Y c c x e 3 1 2 ( ) − = +  = −3是重根 x y x Ax B e 2 3 ( ) − 可设 = + 即 3 2 Q(x) = Ax + Bx Q (x) 3Ax 2Bx 2  = + Q(x) = 6Ax + 2B 代入（*）式 6Ax + 2B = 5x , 0 6 5  A = B = x y x e 3 3 6 5 −  = 非齐通解为 x y c c x x e 3 3 1 2 ) 6 5 ( − = + + 例2

二、f(x)=Pn( x)e coax 型 f(x)=P(x) 2 SIna型及其组合型 f(x)=P(x)ecos ax f(x)=Pm()e sinac 分别是Pn(x)e (n+jo)x 的实部和虚部 考虑方程y"+my+q=P(x)e(x+o)x, 辅助方程 可设y=xQn(x)e(o)x Qn(x)是m次复系数多项式 记Qn(x)=Q1(x)+j2(x) Q1(x),Q2(x)均是m次实系数多项式

二、 f (x) = Pm (x)ex cos x型 f (x) = Pm (x)ex sinx型及其组合型 f x P x e x x m   ( ) = ( ) cos f x P x e x x m   ( ) = ( ) sin 分别是 j x mP x e ( ) ( ) +  的实部和虚部 ( ) , ( j ) x m y py qy P x e +  考虑方程  +  + = 可设 j x m k y x Q x e( ) ( ) +  = Qm (x)是m次复系数多项式 ( ) ( ) ( ) 记Qm x = Q1 x + jQ2 x Q1(x),Q2 (x)均是m次实系数多项式 辅助方程

y=xl2(x)+j22 (x)le (cos ax +jsin ax) =x'eie(x)cos ax-22(x)sin ax) +je(x)sin ax +o2(x)cos ax) 0,元+jo不是特征方程的根 ,+j是特征方程的单根 由分解定理 Rey=xele(x)cos ax-o,(x)sin ax Im y=xe i2(sin ax +o2(x)cos ax 分别是以f(x)=Pm(x) e cos or f(r)=pm (x)e sina 为自由项的非齐次线 性微分方程的特解

[ ( ) ( )] (cos sin ) y x Q1 x jQ2 x e x j x k x    = + + ( ( )sin ( )cos )] [( ( )cos ( )sin ) 1 2 1 2 j Q x x Q x x x e Q x x Q x x k x      + + = −    + + = 是特征方程的单根 不是特征方程的根     j j k 1, 0, 由分解定理 Re [ ( )cos ( )sin ] y x e Q1 x x Q2 x x k x    = − Im [ ( )sin ( )cos ] y x e Q1 x x Q2 x x k x    = + 分别是以 f x P x e x x m   ( ) = ( ) cos f x P x e x x m   ( ) = ( ) sin 为自由项的非齐次线 性微分方程的特解

注意这种方法称为复数法 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例3求方程y"+y=4sinx的通解 解对应齐方通解y=C1cosx+C2sinx, 作辅助方程y+y=4ek 况=j是单根,故y=Axe, 代入上式24=4,∴A=-2 y=-2/= 2xsin x-(2x cos x)j, 所求非齐方程特解为J=-2xc0sx,(取虚部) 原方程通解为 y=C cos x+C2 sin x 2x cos x

注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 例3 求方程 y + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 4 , jx y + y = e  = j 是单根, , * jx 故 y = Axe 代入上式 2Aj = 4,  A = −2 j, 2 2 sin (2 cos ) , * y jxe x x x x j j x  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2xcos x, （取虚部） 原方程通解为 cos sin 2 cos . y = C1 x + C2 x − x x 这种方法称为复数法

例4求方程y"+y=xcos2x的通解 解对应齐方通解Y=C1csx+C2sinx, 作辅助方程y"+y=xe2, 久=2j不是特征方程的根 设y=(4x+B)e2,代入辅助方程 44j-3B=0 g B -3A=1 卩=(-x-j)e jx 39

例4 求方程 y + y = xcos 2x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 , 2 jx y + y = xe  = 2 j 不是特征方程的根, ( ) , * 2 jx 设 y = Ax + B e 代入辅助方程    − = − = 3 1 4 3 0 A Aj B , 9 4 3 1  A = − ，B = − j ) , 9 4 3 1 ( * 2 jx  y = − x − j e