《高等数学》课程教学资源：第十一章 幂级数（11.2）函数展开成幂级数

函数展成界级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数,因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数,那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

函数展开成幂级数 由于幂级数在收敛域内确定了一个和函 数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函 数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末 该函数的导数、积分等问题就迎刃而解

、泰勒级数 上节例题∑(-1) ln(1+x)(-1<x≤1) oo 存在幂级数在其收敛 f(x)=∑a1(x-x0)”域内以为和函数 n=0 问题:1.如果能展开,an2是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数?

一 、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1           x x n x n n n n n n f (x) a (x x ) 0 0      存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 数,且在U(x)内能展开成(x-x0)的幂级数, 即f(x)=∑a1(x-xn) 则其系数an=,fm(x0)(n=0,1,2,… 且展开式是唯一的 证明:∑an(x-x0)在u(x内收敛于f(x,即 n=0 f∫(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)”+

定理 1 如果函数 f (x)在 ( ) 0 U x  内具有任意阶导 数, 且在 ( ) 0 U x  内能展开成( ) 0 x  x 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0      则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0  f ( ) x n   n a n n 且展开式是唯一的. 证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n     f (x)  a0  a1 (x  x0 )  an (x  x0 )n 

逐项求导任意次,得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+ f"(x)=n:an+(n+1)n…3.2an+1(x-x0)+ 令x=x0,即得 f("(x)(n=0,,2,…)泰勒系数 泰勒系数是唯一的,∴f(x)的展开式是唯一的

逐项求导任意次,得 f (x)  a1  2a2 (x  x0 )  nan (x  x0 )n1  f (n)(x)  n!an  (n  1)n3 2an1(x  x0 )  令 x  x0 , 即得 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0  f ( ) x n   n a n n 泰勒系数 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的

定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 (x-x0)”称为f(x)在点x的泰勒级数 n=0 ∑ ∫()x"称为f(x)在点x的麦克劳林级数 H=0 问题f(x)2∑/x(x-x) 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定

如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )     称为 f (x)在点 0 x 的泰勒级数. n n n x n f   0 ( ) ! (0) 称为 f (x)在点 0 x 的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )      泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义

例如f(x)={e ≠0 0 在x0点任意可导,且∫(0)=0(n=0,1,2,) f(x)的麦氏级数为∑0x =0 该级数在(-0,+0)内和函数s(x)≡0 除x=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于∫(x)

       0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 在x=0点任意可导, (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n)  n        0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(,)内和函数 s(x)  0. 除 x  0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛 于 f (x)

定理2f(x)在点x的泰勒级数在U。(x)内收 敛于f(x)冷在U(x)内imRn(x)=0 n→ 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑(x-x)+R,(x) =0 R,(x)=f(x)-sn(x),. lim smu+(x)=f(r) n→0 lim, (x)=limlf(x)-sni(x)=0;

定理 2 f (x)在点 0 x 的泰勒级数,在 ( ) 0 U x  内收 敛于 f (x)在 ( ) 0 U x  内lim ( )  0  Rn x n . 证明 必要性 设f (x)能展开为泰勒级数 , ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i       ( ) ( ) ( ), 1 R x f x s x  n   n lim ( ) ( ) 1 s x f x n n        lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n     0;

充分性∵∫(x)-5n1(x)=Rn(x) limlf(x)-smn()=lim rn (x)=0. n→0 n→)0 即 lim s+(x)=∫(x), f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 定理3设∫(x)在U(x0)上有定义,彐M>0,对 x∈(x-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,1,2,…),则∫(x)在(x0-R,x+R内可展 开成点x的泰勒级数

充分性 ( ) ( ) ( ), 1 f x s x R x   n  n lim[ ( ) ( )] 1 f x s x n n     lim R (x) n n   0, lim ( ) ( ), 1 s x f x n n    即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x x0  R x0  R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n  0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0  R x0  R 内可展 开成点x0 的泰勒级数

证明 (n+1) n R,(x) n+1 x-x X- ≤M 0 0 n (n+1) n+1 x∈(x0-R,x0+R) ∑ x-x,在(,+∞收敛, (n+1)! -./"+ m 0,=0,故im n→>∞(n nn(x)=0, x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0     n x x M n ( , ) x  x0  R x0  R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在   收敛       n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0       n x x n n lim ( )  0,  R x n n 故 ( , ) x  x0  R x0  R . 可展成点x0的泰勒级数

、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法 步骤:(1求an=(x) (2)讨论imR,=0或f(x)≤M, n→ 则级数在收敛区间内收敛于f(x)

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n  (2) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n    讨论 或 则级数在收敛区间内收 敛于 f (x)