Fourier级数习题课
Fourier 级数 习题课
、主要内容 u为常数 L n为函数un(x) 常数项级数 取x≡xo 函数项级数 敷正∥压 收 幂级数 三角级数 项 敛 项级级径 项 半泰勒展开式傅氏展开式 级 数数 R(x)→>0满足狄氏条件 R泰勒级数停民级数 在收敛级数与数 条件下相互转化 数 数或函数 函数
常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 收 幂级数 三角级数 敛 半 径 R 泰勒展开式 数 数或函数 函 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 R(x) → 0 un为常数 u u (x) n为函数 n 满足狄 氏条件 取 x = x0 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 n=1 un 一、主要内容
主要内容 F ourier 级数 f(x)-0+2(a, cos nx+b, sin nx) 2 H=1 Fourier系数 an=∫f(x) cos ndx,(n=0,2,…) T bn, =f(rsin nxd, (n=1, 2
一、主要内容 1。 Fourier 级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n an nx bn nx a f x Fourier 系数 = = = = − − ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 b f x nxdx n a f x nxdx n n n
2。收敛定理( Dirichlet充分条件) f(x)在一个周期内 ①连续或只有有限个第一类间断点 ②只有有限个极值点 则 Fourier级数收敛,且 p+∑( a. cos nr+ h sinx) H=1 f(r) x是连续点 f∫(x-0)+f(x+0 x是间断点
2。收敛定理（Dirichlet充分条件） f ( x ) 在一个周期内 ①连续或只有有限个第一类间断点 ②只有有限个极值点 则Fourier 级数收敛，且 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a = − + + 是间断点 是连续点 x f x f x f x x 2 ( 0) ( 0) ( )
3。周期为2L的函数展开为 Fourier级数 T n x)cos (n=0,1,2,…) nTr f()sin dx, (n=1, 2, . f(x)=4+∑( nTr nTtr a cos +b, sin-) 2 H=1
3。周期为 2L 的函数展开为 Fourier 级数 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + =
若∫(x)是奇函数或偶函数,则有简化的计算公式 偶函数 X)cos n忑bx(n=0,1,2,) 0 bn=0(n=1,2, 奇函数 0(n=0,1,2,…) ng f( d(n=1,2,…) 0 4。非周期函数的展开 在-,)上有定义的函数f(x)
若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式 偶函数 = = l n dx n l n x f x l a 0 ( )cos ( 0,1,2, ) 2 b = 0 (n = 1,2, ) n 奇函数 a = 0 (n = 0,1,2, ) n = = l n dx n l n x f x l b 0 ( )sin ( 1,2, ) 2 4。非周期函数的展开 在[−l,l) 上有定义的函数 f( x )
先在整个数轴上作周期延拓,将延拓后的函数 展开成 Fourier级数,最后限制自变量的取值范 围,即得f(x)的 Fourier级数展开式 在[0,D)上有定义的函数f(x) 奇延拓—展开成正弦级数 (收敛域一般不包含端点) 偶延拓——展开成余弦级数 (收敛域一定包含端点)
先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数 展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范 围， 即得f ( x ) 的 Fourier 级数展开式 在[0，l) 上有定义的函数 f( x ) 奇延拓——-展开成正弦级数 （收敛域一般不包含端点） 偶延拓——展开成余弦级数 （收敛域一定包含端点）
5。强调几点 这部分内容所涉及到的问题,类型不多,有 求函数的 Fourier级数展开式,讨论其和函数, 证明三角等式,求某些数项级数的和。解法也 比较固定首先是求出 Fourier系数,写出 Fourier 级数,然后根据 Dirichlet充分条件讨论其和函数 (1)记住 Fourier系数公式。 Fourier系数的计算 须不止一次地使用分部积分公式,要小心 (2)掌握 Dirichlet收敛定理的内容
5。强调几点 这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有 求函数的Fourier 级数展开式，讨论其和函数， 证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也 比较固定首先是求出Fourier 系数，写出Fourier 级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和函数 ⑴记住 Fourier 系数公式。 Fourier 系数的计算 须不止一次地使用分部积分公式，要小心 ⑵掌握Dirichlet 收敛定理的内容
(3)求函数的 Fourier级数展开式,必须注明展 开式的成立范围—即连续区间,也即只要去 掉间断点 (4)注意函数的奇偶性、周期性 (5)注意函数的定义域,是否需要延拓 无论是奇延拓还是偶延拓,在计算展开式的系数 时只用到f(x)在[0,]上的值,所以在解题过 程中并不需要具体作出延拓函数F(x),而只须 指明采用哪一种延拓方式即可
⑶求函数的Fourier 级数展开式，必须注明展 开式的成立范围——即连续区间，也即只要去 掉间断点 ⑷注意函数的奇偶性、周期性 ⑸注意函数的定义域，是否需要延拓 无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数 时只用到 f ( x ) 在[ 0 , l ] 上的值，所以在解题过 程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ) ，而只须 指明采用哪一种延拓方式即可
收敛定理 Fourier 级数 其它展开 F outer 系数 正弦、余弦级数 求和函数的表达式、常数项级数的和
Fourier 级数 收 敛 定 理 Fourier 系数 其 它 展 开 正弦、余弦级数 求和函数的表达式、常数项级数的和