微积分基本公式 在上一节我们已经看到,直接用定义 计算定积分是十分繁难的,因此我们期 望寻求一种计算定积分的简便而又一般 的方法。我们将会发现定积分与不定积 分之间有着十分密切的联系,从而可以 利用不定积分来计算定积分
在上一节我们已经看到，直接用定义 计算定积分是十分繁难的，因此我们期 望寻求一种计算定积分的简便而又一般 的方法。我们将会发现定积分与不定积 分之间有着十分密切的联系，从而可以 利用不定积分来计算定积分。 微积分基本公式
、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时 间间隔[T1,TH的一个连续函数,且v()≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 v(t)dt 另一方面这段路程可表示为(T2)-(T1) v()lt=s(T)-s(T1).其中s'(t)=v(t)
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t). 一、问题的提出
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[4,b上连续,并且设x 为a,b上的一点,考察定积分 S f(x)dx = f(dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对于 每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以 它在a,b上定义了一个函数, 记Φ(x)=f()dt.积分上限函数
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， ( ) ( ) . = x a 记 x f t dt 积分上限函数 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在a,b上连续,则积分上限的函 数(x)=f()在la,b上具有导数,且它的导 数是Φ(x)=f()t=f(x)(a≤xsb) 证Φ(x+△x)=f(t △Φ=Φ(x+△x)-①(x) x+△v f(txt- f(t)dt xx+△vbx
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
x+△v f(td+」f(o)dt-Jf()t x+△r f(t)dt 由积分中值定理得 Φ(x) xEx+△Cbx △①=f(引)△xξ∈x,x+△xl △Φ △Φ ∫(5),lim m∫( △x→>0△x△x->0 △x→>0,5→x Φ(x)=f(x)
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
注此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量x求导,其结果就等于被积 函数在上限自变量x处的函数值 若上限不是x而是x的函数a(x), 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 a(x f(t)d=∫a(x)(x) 般情况如果f(连续,a(x)、bx)可导 则F(x)=(y的导数F(x)为 a(r) F)=dN)=0x)(x)-1(x)(x) a(r)
一般情况 如 果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F(x)为 = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值 若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)， 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 = ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( ) a x a f t dt f a x a x dx d
证P(x)=(C,+mm fo f(tdt-fo f(tdt, F(x)=fb(x)o'(x)-fla(x)la(x) dt 例1求lim cost x→>0 2 「分析]:这是。型不定式,应用洛必达法则 解d cosX e dx cos d x cos x e cos X =sInx·E
F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 0 0 [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解 − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 证
dt cos x slnx·e m cos lim x->0 2 2x 2e 例2设f(x)在(-∞,+)内连续,且f(x)>0 tf(t)dt 证明函数F(x)= 在(0,+∞)内为单调增 Jof(t)dt 加函数 证40()=y(x)ahO=f)
2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 例 2 设 f (x)在(−,+)内连续，且 f (x) 0. 证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,+)内为单调增 加函数. 证 x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x) x f t dt dx d 0 ( ) = f (x)
F()sxf(x)f(tdt-f(xoy(tdt f(x(x-t)f(t)de (x)= f(t)dt f∫(x)>0,(x>0) f(t)dt>0 (x-t)f()>0,∴”(x-)f()d>0, F(x)>0(x>0) 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt ( ) 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x (x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数
例3设f(x)在0,1上连续,且f(x)0, F(x)在0,1上为单调增加函数 F(0)=-10 所以F(x)=0即原方程在0,1上只有一个解
例 3 设 f (x)在[0,1]上连续，且f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 x − f t dt = x 在[0,1]上只有一个解. 证 令 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t dt x f (x) 1, F(x) = 2 − f (x) 0, F(x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 所以F(x) = 0即原方程在[0,1]上只有一个解. 0