导数的概念 在许多实际问题中,需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度,电流强度,线密 度,比热,化学反应速度及生物繁殖率等,所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题,即 导数。 本章将通过对实际问题的分析,引出微分学中 两个最重要的基本概念—导数与微分,然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则,从而解决 有关变化率的计算问题
导数的概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密 度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有 这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即 导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决 有关变化率的计算问题
导数和微分是继连续性之后,函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况,而微分则是指明当自变量有微 小变化时,函数大体上变化多少。 重点导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点导数的实质,用定义求导,链式法则
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。 重点 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
基啐要求 ①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数,掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清徼分与导数的联系与区别,理解并会运用 阶微分的形式不变性
基本要求 ①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性
、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于时刻运动时间A、tM 平均速度v=AS=S-s △tt 当t→t时,取极限得 瞬时速度v=lim g(to+t) 0 t→)t 2
一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, , 求t 0时刻的瞬时速度 0 t , 0 取一邻近于t 的时刻t t 运动时间t, t t s v 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0 t t g = + , 当t → t 0时 取极限得 2 (t t) v lim 0 0 + = → g t t 瞬时速度 . = gt0
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动, 其运动路程为s=s(,则物体在时刻t0的 瞬时速度定义为 (t0)=mimv=lm④ t→0 4t-0 At = im s(t(+r)-(t) At→0 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线 运动也同样适用。设物体作变速直线运动， 其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的 瞬时速度定义为 t s v t v t t 0 0 0 ( ) lim lim → → = = t s t t s t t ( ) ( ) lim 0 0 0 + − = → 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2切线问题割线的极限位置切线位置 1.251.51.75 2.252.5 2753
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
如图,如果割线MN绕点 y=f(r) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT航称为曲线 C在点M处的切线 极限位置即 0 rx MN→0,∠MMT→0.设M(x0,y,N(x,y) 割线MN的斜率为tsy-V_f(x)-f(x0) X-d N沿曲线C>M,x→x0 切线Mm的斜率为k=tana=mimJ(x)-f(x0) x→>x0 X-
T o x y y = f (x) C N M 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 0 x x 割线MN的斜率为 如图, 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二、导数的定义 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Δx(点 xo+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量Δy=f(x+Δx)-f(x1);如果Δy与 △x之比当Δx→0时的极限存在则称函数 y=∫(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数记为yx=
二、导数的定义 定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 设函数 在 点 的某个邻域内
x=co 或 df(x) △ 即y f(x+△x)-∫(x m x=x0△x→>0△x Ax→0 其它形式f(x0)=im f(x0+h)-f(x0) h→0 f(x)-f(x0) f(0=3xo x-xo
, ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即 x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = →
关于导数的说明: ★导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念,它撇开了变量 所代表的特殊意义,而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质 ★点导数是因变量在点x处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度 ★2是在以x和x+Ax为端点的区间上的 平均变化率
关于导数的说明： ★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质 ★ . , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 ★ 平均变化率 是y在以x 和x x为端点的区间上的 x y 0 0 +