隐函数与参量函数微分法 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
隐函数与参量函数微分法 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数 y = y(x)称为隐函数. y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得u=F|x,y(x)≡0 0 两边对x求导,当遇到y的函数f(y)时 要求的是[f()记z=f(y) z→>y->x
设F(x, y) = 0确定了一元隐函数 y = y(x) 将 y = y(x)代入F(x, y) = 0得 u = F[x, y(x)] 0 = 0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z = f ( y) z → y → x dx dy dy dz dx dz = dx dy = f ( y)
将求出的这些导数代入=0 得到关于的代数方程, dx 解得=g(x,y即为所求 至于隐函数求二阶导数,与上同理 在=g(x,y)两边再对x求导 →d2y=G(x,y,y)再将=g(x,y)代入 dx
将求出的这些导数代入 = 0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g(x, y)即为所求 dx dy = 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy = ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y = 再将 g(x, y)代入 dx dy =
例1求由方程x-e+e"=0所确定的隐函数 P的导数的,中 dx dx x=0 解方程两边对x求导, ytx e"+e 0 d x 解得=°-,由原方程知x=0,y=0 dx xtel 小y e 无= 无= rely=o
例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设曲线C的方程为x3+y3=3x,求过C上 点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3xy y=r 所求切线方程为y274J 3 即x+y-3=0 法线方程为y-Y=x 2 3即y=x,显然通过原点 2
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求 过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例3设x4-xy+y4=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x3-y-xy+4y3y=0 (1) 代入x=0,y=1得y1x= 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y)2+4y3y"=0 代入x=0,y=1,y1x-=7得y1x-0= 16
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1 0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 代入 x = 0, y = 1, 得 41 1 0 = == yx y . 161 1 0 = − == yx y
补证反函数的求导法则 设x=q(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数 y=f(x)可视为由方程x-()=0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x=q(y)两边对x求导得 1=q(y) dx dxφ'(y)
补证反函数的求导法则 设x = ( y)为直接函数，y = f (x)为其反函数 隐函数 y = f (x)可视为由方程 x −( y) = 0确定的一个 由隐函数的微分法则 方程x = ( y)两边对 x求导得 dx dy 1 = ( y) ( ) 1 dx y dy =
例4设 arctan ye+ y2,求,y d x dx2 解方程两边对x求导得 (√x2+y2) x-+ 1+ yx-y 2x+2yy r t y x2+y22√x2+y →yX-y=x+yy 小yx+y
例 4 2 2 2 2 arctan ln , , dxd y dx dy x y xy 设 = + 求 解 方程两边对x求导得 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 + + = + x y x x y y xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x yy x x y y x y x y x + + + = − + yx − y = x + yy x y x y dx dy −+ =
dfy d(x+y dxclx-y (1+y)(x-y)-(x+y)(1-y) (x-y)2 Cy 2x 2 x(x+y)-y(x-y) (x-y) 2(x2+y (x-y) 例5求证抛物线√x+、y=√a上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a
− + = x y x y dx d dx d y 2 2 2 ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y y x y x y y − + − − + − = 2 ( ) 2 2 x y xy y − − = 3 ( ) ( ) ( ) 2 x y x x y y x y − + − − = 3 2 2 ( ) 2( ) x y x y − + = 例5 求证抛物线 x + y = a 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a
证方程x+ a两边对x求导得 1 1 d 十 0 2√x2、pd 故曲线上任一点(x0,y)处切线的斜率为 dy √Jo x=r 0 切线方程为y-y=-0(x-x) →√xy+√yx=√xoJo+√J0x0
证 方程 x + y = a两边对x求导得 0 2 1 2 1 + = dx dy x y x y dx dy = − 故曲线上任一点 ( , ) 0 0 x y 处切线的斜率为 x x0 dx dy k = = 0 0 x y = − 切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y − y = − − 0 0 0 0 0 x0 x y + y x = x y + y