《高等数学》课程教学资源：第九章 二重积分的概念和性质（9.5）柱坐标系和球坐标系下的计算法

在柱坐标系和球坐标系下的计算

在柱坐标系和球坐标系下的计算

在柱坐标系下的计算法 设M(x,y,z为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,O,则这样的三 个数r,,z就叫点M的柱面坐标 x= e y=rsin 8, M(x,y, 4) = 规定:0≤r<+0, P(r,6) 0≤0≤2π 0<<十0

一、在柱坐标系下的计算法 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )        = = = . sin , cos , z z y r x r   x y z o M(x, y,z) P(r, )  r • • 规定： 0  r  +, 0    2, −   z  +

2桌幕→圆柱面 6为常数半平面 .Mx,y,z) z为常数 平面 如图,柱面坐标系中的体积元 8R(r, e) 小hv= rdrdedx, rde dz ∫』/(x,;)dh f(rcos 6, rsin 6, rdrd 8c Q

r 为常数 圆柱面  为常数 半平面 z 为常数 平 面 • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o 如图，柱面坐标系中的体积元 dv = rdrddz, d r x y z o dz dr rd    f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先z次r后θ 积分限是根据r,6,z在积分区域中的变化范围来确定 例1∫∫(x2+y2+2),:z=√x2+y2,z=1 解将2投到xoy面得Dx2+y2≤1 0≤6≤2丌,0≤r≤1,r≤z≤1 JEx+2+2Mv= de dr(2+z2)

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后  积分限是根据 r, ,z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 ( ) , : , 1 2 2 2 2 2 + + = + =  x y z dv  z x y z  解 将  投到xoy 面得D 1 2 2 x + y  0   2 ,0  r  1,r  z  1     + + = +    2 0 1 0 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) r x y z dv d dr r z rdz

=2丌(r3+ r)dr= 3n 33 10 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时,通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 例22,dk,2:z=√x2+y2,x=1,x=2 Rorty

10 3 ) 3 4 3 2 ( 4 1 0 3  =  + − =  r dr r r 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 例2 , : , 1, 2 2 2 2 2 = + = = +  dxdydz z x y z z x y e z  

三rcos 6 解 6 关键在于定出r,6, y=rsin 的变化范围 O,r的范围容易定出0≤6≤2n,0≤r≤2 呢?

解      = = = z z y r x r   sin cos , 关键在于定出 的变化范围 r, ,z  ,r 的范围容易定出 0   2 ,0  r  2 z 呢？

注意到当0≤r≤1时1≤≤2 当1≤r≤2时r≤≤2 i=do dr -rdz+ dr-. rdzI =27(2-)+2j(2-c)m=2n2

注意到 当0  r  1时 1  z  2 当1  r  2时 r  z  2 [ ] 2 1 2 2 0 1 0 2 1 rdz r e rdz dr r e I d dr r z z =  +          = − + − = 2 1 2 2 2 2 (e e) 2 (e e )dr 2 e r   

二、在球坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 三个有次序的数r,,θ来确定,其中r为原 点O与点M间的距离,q为有向线段OM与z 轴正向所夹的角,θ为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xoy面上的投影,这样的三个数r,p, 就叫做点M的球面坐标

二、在球坐标系下的计算法 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三个数 ， ， 逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M       ( , , )

X=SINocon M(x, y, z) y=rsin sin 8, Z=rcos p 规定0又4半平面

P x y z o M(x, y,z)  r • •  z y x A      = = = cos . sin sin , sin cos ,      z r y r x r 规定 0  r  +, 0    , 0    2. r 为常数 球 面  为常数 圆锥面  为常数 半平面

如图,球面坐标系中的体积元素为0 rsin d8 dv=r sin pdrdod8 rdp R"1;4p f(x, y, zdxdyda f(rsin p cos 8, rsin sin 8, rcos )r sin drdod8 然后把它化成对r,,q的三次积分 具体计算时需要将用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是先r次q后0

如图，球面坐标系中的体积元素为 sin , 2 dv = r drdd d r x y z o dr r sind rd d   d r sin  =  f (x, y,z)dxdydz   ( sin cos , sin sin , cos ) sin . 2 f r   r   r  r drdd 然后把它化成对 r, , 的三次积分 具体计算时需要将  用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是 先r次后