《高等数学》课程教学资源：第七章 空间直角坐标系（7.8）二次曲面

二次由面 基本内容 二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称之 相应地平面被称为一次曲面 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面

二 次 曲 面 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 一 、基本内容

(一)椭球面 2 2 d×3 2 椭球面与「2y2 个坐标面 a b, 的交线: 0 2 b J=0

o z y x （一）椭球面 1 22 22 22    cz by ax 椭球面与 三个坐标面 的交线： , 0 1 22 22    y cz ax . 0 1 22 22    x cz by , 0 1 22 22     z by ax

椭球面与平面z=x1的交线为椭圆 2 2 y 2 b C -Z C -Z C C G1<c 同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 z  z1 的交线为椭圆 同理与平面 x  x1 和 y  y1的交线也是椭圆.          1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) z z c z c b y c z c a x | z | c 1

椭球面的几种特殊情况: (1)a=b, ++=1旋转椭球面 2 2 由椭圆 ×P、 2 =1绕z轴旋转而成 C 方程可写为 r ty 2 2 旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面z=1(|z1kc)的交线为圆

椭球面的几种特殊情况： (1) a  b, 1 2 2 2 2 2 2    c z a y a x 旋转椭球面 1 2 2 2 2   c z a x 由椭圆 绕 z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别： 1 2 2 2 2 2    c z a x y 方程可写为 与平面 的交线为圆. 1 z  z (| | ) 1 z  c

截面上圆的方程 x2+y2=2(c-x) Z=Z (2)a=b=c, r y +《=1球面 2 方程可写为x2+y2+z2=a2

(2) a  b  c, 1 2 2 2 2 2 2    a z a y a x 球面 . 2 2 2 2 x  y  z  a . ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2          z z c z c a x y 截面上圆的方程 方程可写为

(二)抛物面 2 z(p与q同号) P 椭圆抛物面 用截痕法讨论:设p>0,q>0 (1)用坐标面xoy(z=0)与曲面相截 截得一点,即坐标原点O(0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点

（二）抛物面 z q y p x   2 2 2 2 （ p 与 q 同号） 椭圆抛物面 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy (z  0) 与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0) 设 p  0, q  0 原点也叫椭圆抛物面的顶点

与平面z=z(x1>0)的交线为椭圆. 2 1当变动时,这种椭 2 pz, 2gz 圆的中心都在z轴上 与平面z=(x1<0)不相交 (2)用坐标面xoz(y=0)与曲面相截 截得抛物线 =0

与平面 的交线为椭圆. 1 z  z         1 1 2 1 2 1 2 2 z z qz y pz x 当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上. 1 z z ( 0) z1  与平面 不相交. 1 z  z ( 0) z1  （2）用坐标面xoz ( y  0)与曲面相截      0 2 2 y x pz 截得抛物线

与平面y=y1的交线为抛物线 2 它的轴平行于z轴 2 y=y 顶点\0,y (3)用坐标面yx(x=0),x=x;与曲面相截 均可得抛物线 同理当p<0,q<0时可类似讨论

与平面 的交线为抛物线. 1 y  y               1 2 2 1 2 2 y y q y x p z 它的轴平行于z 轴 顶点       q y y 2 0, , 2 1 1 （3）用坐标面 yoz (x  0)，x  x1与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p  0, q  0 时可类似讨论

椭圆抛物面的图形如下: p0,q>0

z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下： p  0, q  0 p  0, q  0

特殊地:当P≡q时,方程变为 z(P>0)旋转抛物面 (由x0z面上的抛物线x2=2pz绕它的轴 旋转而成的) 与平面z=21(z1>0)的交线为圆 x+y2=2pz1当1变动时,这种圆 的中心都在z轴上

特殊地：当 p  q时，方程变为 z p y p x   2 2 2 2 ( p  0) 旋转抛物面 （由 面上的抛物线 绕它的轴 旋转而成的） xoz x 2 pz 2        1 1 2 2 2 z z x y pz 与平面 的交线为圆. 1 z  z ( 0) z1  当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上. 1 z z