极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式: lim sinx =1lim(1+-)=e x→0x x→0 为此先介绍判定极限存在的准则
极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式： 1 sin lim 0 = → x x x e x x x + = → ) 1 lim(1 为此先介绍判定极限存在的准则
极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列xn,yn及n满足下列条件: (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn=a, lim zn =a, n→ n→0 那末数列x的极限存在,且 lim x=a. 证∵yn→>a,孔n→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得
一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E, 即xn-a<E成立, lim n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
, 1 n N y − a 当 时恒有 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 上两式同时成立, a − y a + , 即 n a − z a + , n 当n N时, 恒有 a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则|′如果当x∈U(x)(或x>M)时有 (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(r)=A, x→>x0 (x→>∞0) 那末lim∫(x)存在,且等于A x→0 A+6 y=h(x) y=f(x) y=g(x) 4 0 0 +6
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. y = h(x) y = f (x) y = g(x) A− A+ − x0 x0 x0 + （（ ）） 1 2 A
准则I和准则I称为夹逼准则 注意:(1)利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与zn的极限是容易求的 (2)此准则对于x→>∞时的情形也成立 夹逼定理示意图 g(x)≤f(x)≤h(x)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 注意: . (1). , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z (2).此准则对于x → 时的情形也成立 g(x) f (x) h(x) 夹逼定理示意图 A
例1求lm( 十∴十 n→0 n2+1√n2+2 2 n+n 解 十∴ < n2+n√n2+1 n+n n-+ 1 又lm = n→√n2+n n→0 由夹逼定理得 n2+1 十 十 十∴十 n2+1√n2+2 n+n
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn+1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xm1≥…,单调减少 准则Ⅲ单调有界数列必有极限 几何解释: M 2 nn+
2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x xn+1 A M
例2证明数列x=3+3+…+3(m重根 式)的极限存在 证显然xn+>xn,∴{x}是单调递增的; 又∵x1=3<3,假定x<3,xk+1=、3+xK3+3<3, x,}是有界的;lmxn存在 3+xn, 3+x. limx,=lim(3 n+1 n+1 十X H+1 n A2=3+A,解得A= 1+、13 13(舍去) n÷+√13 m 2
例 2) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 xn = + + + n重根 证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; xn 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; xn lim 存在. n n x → 3 , xn+1 = + xn 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去 ) . 2 1 13 lim + = → n n x
二、两个重要极限 SInx m 首先注意到函数x对一切x≠0都有定义 sIn x 设法构造一个“夹逼不等式”,使函数 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数g(x),h(x)之间,以便应用准则I
二、两个重要极限 (1) 1 sin lim 0 = → x x x 首先注意到 函数 对一切 0都有定义 sin x x x 设法构造一个“夹逼不等式”，使函数 x sin x 在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用准则Ⅰ
作如图所示的单位圆 B 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<x D 作单位圆的切线,得△ACO 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, SInd ∴sinx<x<tanx,即cosx< < 上式对于一<x<0也成立.当0<x<时, 2 2
作如图所示的单位圆 A C ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x