等级结构模型
等级结构模型
背景 在社会系统中常常按照人们的职务或者 地位划分为许多等级,如在我们大学,教师 般分为教授、副教授、讲师和助教,学生身份 的人分为研究生、大学生、中学生和小学生, 在其他系统内也都有相应的级别分类.不同等 级的人员比例形成一个等级结构.一个合适的 稳定的等级结构有利于各方面工作的顺利进 行.本节我们就来建立一个模型来描述等级结 构的变化,根据已知条件和当前的结构来预报 未来结构,并为寻求某个理想的等级结构提供 相应的策略
一 .背景 在社会系统中常常按照人们的职务或者 地位划分为许多等级，如在我们大学, 教师一 般分为教授、副教授、讲师和助教 ,学生身份 的人分为研究生、大学生、中学生和小学生, 在其他系统内也都有相应的级别分类. 不同等 级的人员比例形成一个等级结构 . 一个合适的、 稳定的等级结构有利于各方面工作的顺利进 行 .本节我们就来建立一个模型来描述等级结 构的变化 , 根据已知条件和当前的结构来预报 未来结构 , 并为寻求某个理想的等级结构提供 相应的策略
引起等级变化的因素有两种:一是系 统内部等级间的转移,即提升或者降级 二是系统内外的交流即人员的调入或退出 (调离,退休,死亡) 系统内的各个等级的人员每个时期按 照一定的比例变化本是一个确定性的转移 问题,但是当我们把这种比例视为各等级的 每个成员提升、降级或退出的概率,我们 就能够应用概率论和随机过程(特别马氏 过程)中的一些理论和方法当然这时各 等级的数量应理解为平均值
引起等级变化的因素有两种 : 一是系 统内部等级间的转移 , 即提升或者降级 ; 二是系统内外的交流,即人员的调入或退出 (调离 , 退休 , 死亡) . 系统内的各个等级的人员每个时期按 照一定的比例变化,本是一个确定性的转移 问题,但是当我们把这种比例视为各等级的 每个成员提升、降级或退出的概率，我们 就能够应用概率论和随机过程（特别马氏 过程）中的一些理论和方法 . 当然这时各 等级的数量应理解为平均值
二基本量与基本方程 设一个社会系统由低到高分为k个等级将时间 以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次 调级引入记号 成员按等级的分布向量(t)=(mn1(t),n2(t)…,nk() 其中n()为时刻等级的人数N()=∑n1(t)为总人数 成员按等级的比例分布(t)=(a1(1),a2(t)…,a1()) 其中、n⑨0,a(地也称为是等级结构 N(t) 转移矩陶Q=(p),其中为每年从等级转移 至等级的占冲中比例
二.基本量与基本方程 设一个社会系统由低到高分为k个等级,将时间 以年为单位离散化,即每年进行且只进行一次 调级.引入记号: , ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )), 1 2 其 中 也称为是等级结构 成员按等级的比例分布 t N t n t a t t a t a t a t i i k a a = = ( ) , ( ) ( ) . ( ) ( ( ), ( ), , ( )), 1 2 其 中 为 时刻等级的人数 为总人数 成员按等级的分布向量 = = i i i k n t t i N t n t n t n t n t n t ( ) . ( ), 至等级的占 中比 例 转移矩阵 其 中 为每年从等级转 移 j i p p i Q = ij ij
退出比例向量=(m,…m)其中为每年从等级 退出的成员占中例年退出系统的总人数为 W(t)=∑n1=n()w(t) 显然Pn,w≥0,且∑Pz+W=1(2) 调入比例向量如=(r…,r),其中为每年调入等级 的成员占总对调入人数比例年调入总人数为?() 推导等级结构的基本方程 总数:N(+1)=N()+R(t)-W(t) (3) 转移方程n/(+1)=∑mnn()+rR(t)(4)
(1) T i i i k i W t w n t t i t w w w i ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ), 1 n w w = = = 退出的成员占 中比 例 年退出系统的总人数为 退出比例向量 其 中 为每年从等级 , , 0, + = 1 (2) i j 显 然 pij wi 且 pij w ( ) . ( ). ( , , ), 1 t R t r r r i k i 的成员占总对调入人数的比 例 年调入总人数为 调入比例向量如r = 其 中 为每年调入等级 推导等级结构的基本方程 总 数: N(t +1) = N(t) + R(t) −W (t) (3) : n (t 1) p n (t) r R(t) (4) j i 转移方程 j + = ij i +
即 n(t+D=n(to+r(tr (5) 记M为从倒t+1年系统总人数的增长量则 R(1)=W()+M()=N()w+M(t) 于是m(+1)=n(1)(Q+r)+M()(6) =n(t)p+M(tr 其中P=Q+1r,是一个行和为的随机矩阵 (7)式或(5式就是等级结构的基本方程 特例1:当M()=N)时(7)式可变为 a(+1)=(1+B)[a()P+所]
即: n(t +1) = n(t)Q + R(t)r (5) 记M(t)为从t到t+1年系统总人数的增长量,则 R(t) W(t) M(t) N(t)w M(t) T = + = + , 1 . ( ) ( ) ( 1) ( )( ) ( ) 其 中 是一个行和为的随机矩阵 于 是 P Q r n P r n n Q r r T T w t M t t t w M t = + = + + = + + : (7) (6) (7)式或(5)式就是等级结构的基本方程. 特例1:当M(t)=βN(t)时,(7)式可变为 ( 1) (1 ) [ ( ) ] 1 a + = + a P + r − t t
特例2:M()=0.(7)式可变为 a(t+D=a(tp=a(too+wr) (8) 用调入比例进行稳定控制 我们的中心问题是通过对调入比例r的调节尽 快达到或者接近给定的理想等级结构a
用调入比例进行稳定控制 特例2: M(t)=0. (7)式可变为 a( 1) a( )P a( )(Q r) (8) T t + = t = t + w 我们的中心问题是:通过对调入比例r的调节,尽 快达到或者接近给定的理想等级结构a*
