闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质, 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值,起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论,好在这些结论 在几何意义是比较明显的
闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质， 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值，起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论，好在这些结论 在几何意义是比较明显的
最大值和最小值定理 定义:对于在区间上有定义的函数∫(x) 如果有x0∈Ⅰ,使得对于任一x∈都有 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间上的最大(小)值 例如,y=1+sinx,在0,2m上,ym、=2,ym=0; y=sgnx,在(-∞,+∞)上,ynm、=1,y 在(0,+∞)上, max mIn 1
一、最大值和最小值定理 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 2, ymax = 0; ymin = y = sgn x,在(−,+)上, 1, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin =
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 若∫(x)∈C|a,b, 则丑51,2∈[a,b y=f(x) 使得Ⅴx∈a,b, 有∫(1)≥∫(x) ∫(52)S∫(x) ξ;bx 注意:1若区间是开区间,定理不一定成立 2若区间内有间断点,定理不一定成立
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 x y o y = f (x) a b 2 1 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
y=f(r) y=f(x 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 证设函数f(x)在[a,b上连续,Vx∈[,b 有m≤f(x)≤M,取K=max{m,M}, 则有f(x)≤K.∴函数f(x)在[a,b上有界
x y o 2 y = f (x) x y o y = f (x) 1 2 1 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f (x)在[a,b]上连续, x [a,b], 有 m f (x) M, 取 K = max{m, M }, 则有 f (x) K. 函数f (x)在[a,b]上有界
二、介值定理 定义:如果x使f(x)=0,则x称为函数 ∫(x)的零点 定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b 上连续,且f(a)与∫(b)异号(即f(a)·f(b)<0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零 点,即至少有一(a<ξ<b),使f(2)=0 即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根
二、介值定理 定义: ( ) . ( ) 0, 0 0 0 的零点 如果 使 则 称为函数 f x x f x = x 定理 3(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零 点,即至少有一点 (a b)，使 f () = 0. 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根
几何解释: 连续曲线弧y=∫(x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与c轴至少有一个交点 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b 上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及∫(b)=B, 那末,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间 (a,b)内至少有一点ξ,使得f()=C(a<ξ<b
几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧 则曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x x y o y = f (x) a b 1 2 3 定 理 4 (介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B, 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 (a,b)内至少有一点，使得 f ( ) = C (a b)
证设p(x)=f(x)-C,川 则(x)在a,b上连续,B 且@(a)=f(a)-C cp=fr- A-C b x P(b)=f(b)-CB-C,m q(a)·g(b)<0,由零点定理,彐5∈(a,b),使 qp()=0,即φ()=f()-C=0,∴∫(4)=C 几何解释:连续曲线弧y=f(x)与水平 直线y=C至少有一个交点
证 设(x) = f (x) − C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C, (b) = f (b) − C= B − C, (a)(b) 0, 由零点定理, (a,b),使 ( ) = 0, 即( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. x y o y = f (x) a b A B M m 1 x x2 C 1 2 3 几何解释: . ( ) 直线 至少有一个交点 连续曲线弧 与水平 y C y f x = =
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值M与最小值m之间的任何值 例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 证令f(x)=x3-4x2+1,则f(x)在0,连续, 叉∫(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理, 彐ξ∈(a,b),使∫(5)=0,即3-42+1=0, 方程x3-4x2+1=0在(0,1内至少有一根
例1 . 4 1 0 (0,1) 3 2 至少有一根 证明方程 x − x + = 在区间 内 证 ( ) 4 1, 3 2 令 f x = x − x + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) = −2 0, 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 4 1 0, 3 2 即 − + = 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m 之间的任何值. 4 1 0 (0,1) . 3 2 方程x − x + = 在 内至少有一根
例2设函数f(x)在区间[a,b上连续,且f(a)b.证明∈(a,b),使得f()=5 证令F(x)=∫(x)-x,则F(x)在[a,b上连续, 而F(a)=f(a)-a0,由零点定理, 日∈(a,b),使F(4)=∫(2)-2=0, 即∫(2)=5
例2 ( ) . ( , ), ( ) . ( ) [ , ] , ( ) , = f b b a b f f x a b f a a 证 明 使 得 设函数 在区间 上连续 且 证 令 F(x) = f (x) − x, 则F(x)在[a,b]上连续, 而 F(a) = f (a) − a 0, F(b) = f (b) − b 0, 由零点定理, (a,b), 使 F( ) = f ( ) − = 0, 即 f ( ) =
例3设f(x)在0,2a上连续,且f(0)=f(2a) 证明∈|0,a)使f(2)=f(4+a) 证记F(x)=f(x)-f(x+a则 F(x)在0,a上连续(0,aj即F(x)的定义域 且F(0)=f(0)-f(a) F(a)=f(a)-f(2a)=∫(a)-f(0) 若f(0)=f(a)则5=0即为所求 若f(0)≠f(a)则F(0)·F(a)<0 由零点定理知玉∈(0,a)使F(4)=0 即f(4)=f(2+a) 总之32∈|0,a)使f(4)=∫(+a)
例3 [0, ) ( ) ( ) ( ) [0,2 ] (0) (2 ) a f f a f x a f f a = + = 证明 使 设 在 上连续，且 证 记F(x) = f (x) − f (x + a)则 F(x)在[0,a]上连续([0,a]即F(x)的定义域) 且F(0) = f (0) − f (a) F(a) = f (a) − f (2a) = f (a) − f (0) 若f (0) = f (a) 则 = 0即为所求 若f (0) f (a) 则F(0) F(a) 0 由零点定理知 (0,a)使F( ) = 0 即f ( ) = f ( + a) 总之 [0,a)使f ( ) = f ( + a)