直线及其方程 空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线 II: Ax+B,y+C14+D,=0 II2: A2x+ B2y+C24+D2=0 ∫4x+By+C1z+D1=0 14x+B2y+C2z+D2=0 y 空间直线的一般方程x
直线及其方程 x y z o 1 2 定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程与参数 方程 方向向量的定义: 如果一非零向量平行于 条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量 M0(x0,y0,z),M(x,y,z), M∈L,MM/sx s=m,n, p3, MoM=x-xo, y-y0,4-o)
x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0 M M L, M(x, y,z), M M s 0 // s = {m, n, p}, { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 二、空间直线的对称式方程与参数 方程
x-x0y-y02-50 P直线的对称式方程 令x-0=yy=乙-=t n P x=x+ mt 直线的一组方向数 y=yo+ nt 方向向量的余弦称为 z=Zo+ pt 直线的方向余弦 直线的参数方程
p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0 = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程
例1求经过M1(x1,y,z,M2(x2,y2,2) 两点的直线方程 解因为直线过M1,M2两点 因此可取M1M2作为直线的方向向量 S=MM 19y2 2 由点向式即得所求直线的方程为 x-x y-y1 3-41 2 J2-J12- 直线的两点式方程
例1 求经过 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z 两点的直线方程 解 因为直线过 1 2 M ,M 两点 因此可取 M1M2 作为直线的方向向量 M1M2 s = 2 1 2 1 2 1 = x − x , y − y ,z − z 由点向式即得所求直线的方程为 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − ——直线的两点式方程
例2用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解一用点向式 在直线上任取一点(x0,y0,z) +2=0 取 l→ 3zn-6=0 解得J=0,z0=-2 点坐标(1,0,-2)
例2 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0 − + + = + + + = x y z x y z 解一 用点向式 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 x0 = 1 , 3 6 0 2 0 0 0 0 0 − − = + + = y z y z 解得 y0 = 0, z0 = −2 点坐标(1,0,−2)
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 S=M1×n 9 对称式方程 x-1y-0x+2 3 y=1+4t 参数方程{y=-t 2-3t 解二用两点式 已求出一点(1,0,-2)再求出一点
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n1 n2 s = = {4,−1,−3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4 = − − = − = + z t y t x t 解二 用两点式 已求出一点 (1,0,−2) 再求出一点
1得x+z= 0 2x+3z=-5 解得x=5,z=-5 点坐标5,-1,-5), 所求直线方程为 x-1y-0x+2 x=1+4t 参数方程{y=-t 2-3t x+y+z+1=0 解三由2x-y+3z+4=0
令 y = −1 得 x + z = 0 2x + 3z = −5 解得 x = 5,z = −5 点坐标 (5,−1,−5), 所求直线方程为 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4 = − − = − = + z t y t x t 解三 由 . 2 3 4 0 1 0 − + + = + + + = x y z x y z
两式相加得3x+4z+5=0 →x=-1(4z+5) 3 代入方程组得y=(z+2) (4z+5) 3 y=(x+2) 称为投影方程 3 实际上这就是所求直线的参数方程 对称式方程3 3 3
两式相加得 3x + 4z + 5 = 0 (4 5) 3 1 x = − z + 代入方程组得 ( 2) 3 1 y = z + 即 (4 5) 3 1 x = − z + ( 2) 3 1 y = z + ——称为投影方程 实际上这就是所求直线的参数方程 对称式方程 1 3 3 2 4 3 5 − = − − = + z x y
例3一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相 交,求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为B(0,-3,0) 取s=BA={2,0,4}, 所求直线方程 2y+3z-4 0 由以上几例可见,求直线方程的思路、步骤: 两定定点、定向
例 3 一直线过点A(2,−3,4)，且和 y轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z 由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤： 两定——定点、定向
例4求过点A(1,2,2),且通过直线L 3-J+1x-2 的平面方程 解设所求平面的法向量为n 由题设知点M(2,-1,2)为直线L上一点 其方向向量=3i+j-k 由于所求平面通过点A及L →n⊥AM=i-3i+4k →n=s×AM
例4 求过点A ( 1 , 2 ,－2 ) ,且通过直线 L 1 2 1 3 2 − − = + = − z y x 的平面方程 解 设所求平面的法向量为 n 由题设知点 M(2,−1,2) 为直线L上一点 其方向向量 s i j k = 3 + − 由于所求平面通过点A及L n AM i j k ⊥ = − 3 + 4 n = s AM