《高等数学》课程教学资源：二重积分的计算（习题课）

题课二重积分的计

习题课 二重积分的计算

、主要内容 重积分的计算方法是累次积分法,化二重 积分为累次积分的步骤是: ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序,定出积分限 1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑

二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑 一 、主要内容

积分区域为圆形、扇形、圆环形被积函数呈 f(x2+y2,f()常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2。关于积分次序的选择 选序原则①能积分,②少分片,③计算简 3。关于积分限的确定 二重积分的面积元o=d(=rdc)为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限

被积函数呈 ( ), ( ) 2 2 x y f x  y f 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2。关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简 3。关于积分限的确定 二重积分的面积元d  dxdy(d  rdrd) 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形

定限看图定限一穿越法定限和不等式定限 先选序,后定限 ①直角坐标系 先y后x 过任x∈[a,b,作平行于y轴的直线 穿过D的内部 从D的下边界曲线y=q(x)穿入一内层积分的下限 从上边界曲线y=2(x)穿出一内层积分的上限 先x后 过任一y∈[c,d]作平行于x轴的直线

看图定限 —穿越法定限 和不等式定限 先选序，后定限 ①直角坐标系 ⅰ。先 y 后 x ， 过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线 穿过D的内部 从D的下边界曲线 ( ) 1 y  x 穿入 —内层积分的下限 从上边界曲线 ( ) 2 y  x 穿出 —内层积分的上限 ⅱ。先 x 后 y 过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线 定限

左边界x=W1()—内层积分的下限 右边界x=v2(y) 内层积分的上限 i。如D须分片则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算,结果相加 ②极坐标系 积分次序一般是先r后6 过极点O作任一极角为(∈a,B)的射线 从D的边界曲线r(0)穿入从n(6)穿出

左边界 ( ) 1 x  y ——内层积分的下限 右边界 ( ) 2 x  y ——内层积分的上限 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算，结果相加 ②极坐标系 积分次序一般是 先r后 过极点O作任一极角 为  ( [, ]) 的射线 从D的边界曲线 ( ) r1  穿入 从 ( ) r2  穿出 ⅲ。如D须分片

r;(6 内下限2(6)一内上限 具体可分为三种情况 (1)极点在D的外部a≤b≤B,r1(6)Srsn2(6 (2)极点在D的边界上a≤6≤B,nr(6)sr≤2(6) a,B是边界在极点处的切线的极角 F1(6)绝大多数情况下为0 (3)极点在D的内部0≤6≤2m,0≤r≤r(0) 化累次积分后外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘P

( ) r1  ——内下限 ( ) r2  —内上限 具体可分为三种情况 , ( ) ( )      r1   r  r2  ⑵极点在D的边界上 , ( ) ( )      r1   r  r2  , 是边界在极点处的切线的极角 ( ) r1  绝大多数情况下为0 ⑶极点在D的内部 0    2 ,0  r  r( ) 化累次积分后 外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘 r ⑴极点在D的外部

4。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的, 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的,不 过重积分的情况比较复杂,在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面,不可误用 对r=/(x,p)dd ①若D关于x轴对称 (1)当f(x,-y)=-f(x,y时I=0 (￥(x-y)=f(x)时=2f(x,h D2={x)∈Dy≥0

4。关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 对   D I f (x, y)dxdy ①若D关于 x 轴对称 (1)当f (x, y)   f (x, y)时 I 0 (2)当f(x,y) f(x, y)时   2 2 ( , ) D I f x y dxdy ( , ) , 0 D2  x y D y

②若D关于y轴对称 1)当f(-x,y)=-f(x,y时I=0 D={(xy)(xy)∈Dx27xmx (2当(x,y)=f(x,p时I=2∫ ③若D关于原点对称 (1)当f(-X,-y)=-f(x,y)时I=0 )当f(x,-y)=fxy)时1=2」(x,y)td D3={xy)∈D,x≥0y≥0}

②若D关于 y 轴对称 (1)当f (x, y)   f (x, y)时 I  0 (2)当f (x, y)  f (x, y)时   1 2 ( , ) D I f x y dxdy D1 (x, y)(x, y)D,x0 ③若D关于原点对称 (1)当f( x,y)   f( x, y)时I 0 (2)当f (x,y)  f (x, y)时   3 2 ( , ) D I f x y dxdy ( , ) , 0, 0 D3  x y D x y

④若D关于直线y=x对称 f∫(x,y)dy=f(0y,x)d小 称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 ①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0,偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍,完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的 性质 简述为“你对称,我奇偶

   D D f(x, y)dxdy f( y, x)dxdy ——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的 性质 简述为“你对称，我奇偶” ①、②、③简单地说就是 ④若 D 关于直线 y = x 对称