定积分的分部积分法 分部积分公式 定积分也可以象不定积分一样进行分部积分, 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b上具有连续导数,则 b b 有 uav vdu 定积分的分部积分公式 推导(a)=l+mn,r( (uv)'dx=p, u'vdx+ uv'dx b ∴u=v
定积分也可以象不定积分一样进行分部积分， 设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续导数，则 有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b a uv u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 定积分的分部积分法 一、分部积分公式
例1计算 arcsin xar. 解令W= arcsinx,巾=d 2 d rdx arcsin ra =lxarcsinx 2 0 0 1 (1-x2) 262 3 十 122
解 arcsin . 2 1 0 xdx 令 u = arcsin x, dv = dx, 则 , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 例1 计算
例2计算「 01+c0s2x 解1+c0s2x=2c0s2x, r xix tan 01+cos 2x Jo 2 cosx Kx tanx]o-aJo tan xdx 2 π—8 In sec x πIn2 84
1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − = 例2 计算 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 解
例3计算 1 In(1+x) b(2+x)2 解 1 In(1+x) (2+x)2 In(1+ xd 2+x In(1+x) dIn(l+x) 2+x 2+x In 2 dx 1 3 02+x1+x 1+x2+ In 2 +[m(1+x)-ln(2+x)b 3 5 In2-ln 3 3
例3 计算 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x 解 + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
例4设f(x)= x2 sint d,求Jx(x)tx sint 解因为没有初等形式的原函数, 无法直接求出f(x),所以采用分部积分法 f(x)dx =lf(x)d(x2) f(x x df(x) 0 f(1) 2Jxf'(x)dx
例 4 设 = 求 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 解 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x dx
x2 sint 1sint f(r) dt,∫(1) dt=0, sIn 2sin x ∫(x)=-2·2x= b(x)1 f(1) x f(x)dx 0 2xsinxdx sinx dx 2 2 cos x (cos1-1)
0, sin (1) 1 1 = dt = t t f = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x dx 1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = −
例5证明定积分公式 L=sin"xdx=cos"xdx n-1n-331兀 =n.n-2422,m为正偶数 n-1n-342 大于1的正奇数 nn-253 证设u= sin X,dh= sinad, du=(n-1)sin xcos xd, v=-cos x sin-xcos x+(n-Dlsin-xcos xdx 1-sintx
= = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n − − − − − − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv = sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x, I x x n x xdx n n n − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos 0 x 2 1− sin 例5 证明定积分公式
sin xdx n (n-「simn2xdk-(n-1)s =(n-1)n2-(n-1)n n 积分关于下标的递推公式 n-3 2 ,直到下标减到0或1为止 n 2m-12m-353 2m 2m2m-26420 2m2m-2642 n十 2m+12m-1753
I n xdx n xdx n n n = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 In 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到0或1为止 , 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = (m = 1,2, ) , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + =
「a=2,1=-i sin xdx=1 2m-12m-3531π 于是I2mn=-2m 2n-26422 2m2m-2642 2m+/ 2m+12m-1753
, 2 2 0 0 = = I dx sin 1, 2 0 1 = = I xdx 于是 , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m
例6设f(x)连续证明 (x-tf(t)di f(u)du dt 证一记F(x)=∫(x-)( G(x)=f(a)则 (x)=C(x)=「f()dt→F(x)-G(x)=C 而F(0)=G(0)=0故F(x)=G(x)
设 f ( x ) 连续 证明 x t f t dt f u du dt x x t − = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 证一记 = − x F x x t f t dt 0 ( ) ( ) ( ) G x f u du dt x t = 0 0 ( ) ( ) 则 = = x F x G x f t dt 0 ( ) ( ) ( ) F(x) − G(x) = C 而 F(0) = G(0) = 0 故 F(x) = G(x) 例6
