多元函数极值 、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=-的图形
观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 多元函数极值 一、多元函数的极值和最值
二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y): 若满足不等式f(x,y)∫(x0,y),则称函数在(x0,y0)有极 小值; 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值 (1)
1、二元函数极值的定义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有 极 小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y (1)
函数z=-x2+y2 在(0.,0)处有极大值 函数z 在(0,0)处无极值 (3) 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且 在点(x,y)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:fx(x0,y)=0,J(x0,y)=0
在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y (2) 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy (3) 2、多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 =
证不妨设z=f(x,y)在点(x0,y)处有极大值, 则对于(x,y0)的某邻域内任意(x,y)≠(x,y) 都有∫(x,y)<∫(x0,y0) 故当y=y,x≠x0时,有f(x,y)<f(x0,y0), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值, 必有fx(x0,y0)=0; 类似地可证f,(x0,y)=0 推广如果三元函数n=f(x,y,z)在点P(x0,y0,) 具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条 件为 f2(x0,y0,x0)=0,f,(x0,y0,z)=0, 0909 z0)=0
证 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ，x x0时， 有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数z=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又∫x(x0,y) ∫(x0,y)=0, 令∫x(x,)=A,J(x0,y)=B ∫n(x0,y)=C
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点 例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点， 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0， 令 f x x ( x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy (x0 , y0 ) = C， 但不是极值点
则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值, 当A0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值也可能没有极值, 还需另作讨论 例1求由方程x2+y2+z2-2x+2y 4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导
则 f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论． 例 1 求由方程x y z 2x 2 y 2 2 2 + + − + − 4z − 10 = 0确定的函数z = f ( x, y)的极值 解 将方程两边分别对x, y求偏导
2x+2x·z!-2-4 0 12y+2x*z+2-42=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1), 将上方程组再分别对x,y求偏导数, 将P(1,-1代入原方程, x Ip B=m Ip=0, C=zIp= 2-z 故B2-AC (2-20
+ + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y 求偏导数, , 2 1 , | 0, | 2 1 | z B z C z z A zxx P xy P yy P − = = = = − = = 故 0 ( 2) (2 ) 1 2 2 − − = − z z B AC , 将P(1,−1)代入原方程, 将P(1,−1)代入原方程, 有z1 = −2, z2 = 6, 当z1 = −2时， 0 4 1 A =
所以z=f(1,1)=-2为极小值; 当z2=6时,A=-<0,所以z=∫(,-1)=6为极大值 求函数z=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组∫x(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点(x0,y) 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值
所以z = f (1,−1) = −2为极小值； 当z2 = 6时， 0 4 1 A = − , 所以z = f (1,−1) = 6为极大值. 求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值
3、多元函数的最值 与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法 设∫(x,y)在D上连续,D内可微且在 D内至多有有限个驻点这时若∫(x,y) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值 故一般方法是 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最 大者即为最大值,最小者即为最小值
3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法 设 f ( x , y ) 在D上连续，D内可微且在 D内至多有有限个驻点,这时若 f ( x , y ) 在D内取得最值,则这个最值也一定是极值 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值. 故一般方法是
在实际问题中,往往根据问题的性质就可 以断定函数在区域内部确有最大值(最小值), 这时如果函数在区域内只有一个驻点,则可以 断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大 值(最小值) 例2求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y) 在直线x+y=6,x轴和轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值 4 解如图, 先求函数在D内的驻点, -100 -15 x+y=6 D
在实际问题中，往往根据问题的性质就可 以断定函数在区域内部确有最大值（最小值）， 这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以 断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大 值（最小值） 例 2 求二元函数 ( , ) (4 ) 2 z = f x y = x y − x − y 在直线x + y = 6，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解 如图, 先求函数在D内的驻点， x y o x + y = 6 D D