《高等数学》课程教学资源：第十一章 习题课

司题课

习 题 课

、主要内容 关 y分=y分4y=dy+0(△x) 系dxc 基本公式 导数 微分 高阶忌数 im 中y=y△x △x→>0△x 高阶微分 求导法则

一、主要内容 导 数 x y x    0 lim 基本公式 求 导 法 则 高阶导数 微 分 dy  yx 关 系 y dy y dx y dy o( x) dx dy           高阶微分

1、导数的定义 △ =lim= lim f(x0+△x)-f(x0) yx=xo-x0△x△x→>0 △x 单侧导数 左导数,右导数,可导的充要条件 2、基本导数公式(常数和基本初等函数的导数公式) 常、反、对、幂、指、三、双曲—18个公式 3、求导法则

1、导数的定义 . ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y y x x x x               单侧导数 左导数，右导数，可导的充要条件 2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式） 常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式 3、求导法则

(1)函数的和、差、积、商的求导法则 (2)反函数的求导法则 (3)复合函数的求导法则—注意不要漏层 (4)对数求导法注意适用范围 (5)隐函数求导法则—注意y的函数的求导 (6)参变量函数的求导法则注意不要漏乘 4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ∫"(x0)=lim f(n)(x0+Ax)-f(m)(x0) Ax->0 方法:逐阶求导

(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层 (4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘 4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) x f x x f x f x n n x n    ( ) ( ) ( ) lim 0 ( 1) 0 ( 1) 0 0 ( )       方法：逐阶求导

5、微分的定义微分的实质 6、导数与微分的关系 7、微分的求法d=f(x)dk 基本初等函数的微分公式 8、微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性—复合函数的微分法则 无论x是自变量还是中间变量,函数y=∫(x) 的微分形式总是=f(x)dc

5、微分的定义 微分的实质 6、导数与微分的关系 7、 微分的求法 dy  f (x)dx 基本初等函数的微分公式 8、 微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性——复合函数的微分法则 的微分形式总是 无论x是自变量还是中间变量 ,函数y  f (x) dy  f (x)dx

二、典型例题 例1设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100, 求∫(0 解f'(0)=lim f(x)-f(0) 0 x-0 Iim(x-1)(x-2)…(x-100) x→>0 =100 例2设 21,√1+x2+1 y=arctan I+x+=In 4√1+x2-1 求

二、典型例题 例1 (0). ( ) ( 1)( 2) ( 100), f f x x x x x      求 设  解 0 ( ) (0) (0) lim 0      x f x f f x lim( 1)( 2) ( 100) 0      x x x x   100! 例2 . , 1 1 1 1 ln 4 1 arctan 1 2 1 2 2 2 y x x y x         求 设

解设u=√1+x2,则y= arctan+hr L+1 十 n2(1+l 十 )4u+1a- 2x2-x l!2=(√1+x2)= 1+x 1 (2x+x3)1+x2 例3求下列函数的导数 ①y= arccos

解 1 , 2 设 u   x , 1 1 ln 4 1 arctan 2 1     u u 则 y u ) 1 1 1 1 ( 4 1 2(1 ) 1 2        u u u y  u 4 1 1 u  , 2 1 2 4  x  x  ( 1 ) 2 u   x  x , 1 2 x x   . (2 ) 1 1 3 2 x x x y x       例3 求下列函数的导数 ① x y 1  arccos

x|√x2-1 2 f(x)=maxx, x, 0<x<2 x0<x<1 f(x)={1x=1 x21<x<2 故当0<x<⑩∫(x)=1 当1<x<2时∫'(x)=2x

2 2 1 1 1 1 x x y       2 2 1 1 | | x x x    | | 1 1 2   x x ② ( ) max{ , } ,0 2 2 f x  x x  x             1 2 1 1 0 1 ( ) 2 x x x x x f x 故 当0  x  1时 f (x)  1 当1  x  2时 f (x)  2x

∫"(1)=limf(x)-f(1)=Wx-、、 x-1 x→ f∫(1)=im f(x)-f(1) m ∫(1)≠∫(1)→f(1)不存在 10<x<1 →f(1)=不存在x=1 2x1<x<2 ③设 x= arctan 求 小y y-ty+e=5 dx 解 dt 1+t

1 ( ) (1) (1) lim 1        x f x f f x 1 1 lim 1      x x x  1 1 ( ) (1) (1) lim 1        x f x f f x 1 1 lim 2 1      x x x  2 (1) (1)   f   f   f (1)不存在             2 1 2 1 1 0 1 (1) x x x x f 不存在 ③ dx dy y ty e x t 设 t 求        2 5 arctan 2 解 2 1 1 dt t dx  

第二个方程两边对t求导得 42-2+e'=0 2 小y dt 2ty-2 Φt(1+t2)(e-y2) →dx 2ty-2 ④设(x)=(x201-1)g(x),其中g(x)在x=1处连续, 且g(1)=1求f'(1)

第二个方程两边对 t 求导得 2 2 0 2     t e dt dy y ty dt dy 2 2 2     ty e y dt dy t dt dx dt dy dx dy   2 2 (1 )( ) 2 2     ty t e y t ④ (1) 1 (1) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 2001 g f f x x g x g x x      且 求 设 ，其中 在 处连续