《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分学（8.2）偏导数

偏号数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个,但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下,只考虑函数对其中一个自 变量的变化率,因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题,这就是偏导数概念,对此给出如 下定义

偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义

偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻 域内有定义,当y固定在y0而x在x处有增量 △x时,相应地函数有增量 f(xo+Ax, yo)-f(o,yo) 如果lim f(x0+△x,y)-f(x,y) 存在,则称 △x→>0 此极限为函数z=∫(x,y)在点(x0,y)处对x的 偏导数,记为 z of ,zxx=x或f2(x,y) ar/r=xo Oxy=yo y=Vo y=Vo

定义 设函数z  f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x在 x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x  x y  f x y ， 如果 x f x x y f x y x       ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z  f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x的 偏导数，记为 0 0 y y x x x z     ， 0 0 y y x x x f     ， 0 0 y y x x x z   或 ( , ) 0 0 f x y x . 一 、偏导数的定义及其计算法

同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y)处对y 的偏导数,为 ∫(x0,y0+△y)-f(x0,y0) Im △y→0 △ az 记为 ,zyx=x或∫,(x0,y0) yx=xo oy X=x 0 y=yo y=y y=y 如果函数乙=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作2z 或∫x(x,y) ax ax

同理可定义函数 z  f ( x , y )在点( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y       ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z     ， 0 0 y y y x x f     ， 0 0 y y x x y z   或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数z  f (x, y)在区域D内任一点 (x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z  f (x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f ( x, y) x

f(xy=lim/(x+h,y)-f(x,y) h -0 h 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数,记作,,z或f(x,y). ay ay ∫(xy=-1mf(xy+)-/(y IO h

h f x h y f x y f x y h x ( , ) ( , ) ( , ) lim 0     同理可以定义函数z  f (x, y)对自变量y的偏导 数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y . h f x y h f x y f x y h y ( , ) ( , ) ( , ) lim 0    

偏导数的求法 由偏导数的定义可知,求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求以时把y视为常数而对x求导 求时把x视为常数而对y求导 这仍然是一元函数求导问题

偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的 偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 x f   求 时把 x 视为常数而对 y 求导 y f   这仍然是一元函数求导问题

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,x)在(x,y,)处 ∫(x,y,x=lim ∫(x+Lx,y,x)-f(x,y,z 0 ∫,(x,y,z)=lin f∫(x,y+,x)-f(x,y, 小-0 f(x, y,i=lim/(x, J, 2+4)-/(*, J, 2) -0

如 u f(x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x        , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y        . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z        偏导数的概念可以推广到二元以上函数

般地设 H=∫(x1,x2…,Xn) o°=im(,+,)-f(x”, v:么-)0 ∠c i=1,2,…,n)

一般地 设 ( , , , ) 1 2 n w  f x x  x i i i n i n x i x f x x x x f x x x x w i    ( , , , , ) ( , , , , ) lim 1 1 0           (i  1,2,,n)

例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 0x-2x+3y; oz,t3x+2y ay z =2×1+3×2=8 ox y=2 az =3×1+2×2=7 ay x=」 Jy 2 例2设=x(x>0,x≠1), 求证+Oz 1 az 十 2Z ox Inx a 证 z ax J

例 1 求 2 2 z  x  3 xy  y 在点(1,2)处的偏导数． 解    x z 2x3y ;    y z 3x  2 y .       2 1 y x x z 21  3 2  8 ,      2 1 y x y z 31  2 2  7 . 例 2 设 y z  x ( x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1       . 证    x z , y1 yx    y z x ln x, y

x az 1 az xy-t x Inx y ax In x ay Inx =x+x 原结论成立 例3设z= arcsin 求 ax a 解zx ax x2 y-+ r t y √x2+y2 2 IyI (x + y 2、3 2 2 r t y

y z x x z y x      ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1    y y  x  x  2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z   ，求 x z   ， y z   . 解    x z            x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y     ( | |) 2 y  y . | | 2 2 x y y  

az 2 2 2 r t y (≠02/4t) 2 x ty (一 2 son 2、3 十 r t y 不存在 Oy x≠0 例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数),求证:⑦ovoT av at ap

   y z            y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y      x y y x 1 sgn 2 2    ( y  0) 0 0     y y x z 不存在． 例 4 已知理想气体的状态方程 pV  RT （R为常数），求证：  1         p T T V V p