三重积分及其计算 三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域 推广到空间区域,被积函数推广到 元函数,就得到三重积分的定义
三重积分及其计算 一、三重积分的概念 将二重积分定义中的积分区域 推广到空间区域，被积函数推广到 三元函数，就得到三重积分的定义
设f(x,y,)是空间有界闭区址2上的有界 函数,将闭区域2任意分成?个小闭区域△v1 △v2,…,△vn,其中△v表示第个小闭区域,也 表示它的体积,在每个上任取一点(5,71,5; 作乘积f(5,1,5;),△v;,(i=1,2,…,m),并作和 如果当各小闭区城的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 ∫(x,y,z)在闭区址2上的三重积分,记为 f(,y, )di
设 f ( x, y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域 1 v ， 2 v ,, n v ，其中 i v 表示第i 个小闭区域，也 表示它的体积, 在每个 i v 上任取一点( , , ) i i i 作乘积 i i i i f ( , , ) v ，(i = 1,2,,n)，并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y,z)在闭区域 上的三重积分，记为 f (x, y,z)dv
其中d称为体积元,其它术语与二重积分相同 若极限存在,则称函数可积 若函数在闭区域上连续,则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论 其计算方法
其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同 若极限存在，则称函数可积 若函数在闭区域上连续， 则一定可积 由定义可知 三重积分与二重积分有着完全相同的性质 三重积分的物理背景 以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量 下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论 其计算方法
在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面x=常数,y=常数,z=常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方 体 其体积为4=4x小yz 故在直角坐标系下的面积元为dV= dxdydz 三重积分可写成 ∫jy(x,)d-J(x,,)tdk 和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单
二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y =常数, z =常数 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方 体 其体积为 V = xyz 故在直角坐标系下的面积元为 dV = dxdydz 三重积分可写成 = f (x, y,z)dV f (x, y,z)dxdydz 和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算 具体可分为先单后重和先重后单
①先单后重 闭区域!2在xoy z=IcY 面上的投影为闭区域D, S1:z=1(x,y zx, j) S2:z=2(x,y), 过点(x,y)∈D作直线 y b 从z1穿入,从z2穿出 y=y2(x) J=( 先将x,y看作定值,将f(x,y,z)只看作z的 函数,则 z2(x,y = f(x, y, z)dz
x y z o D a b ( ) y = y2 x ( ) y = y1 x ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y (x, y) ①先单后重 D, xoy 面上的投影为闭区域 闭区域 在 : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y) D 作直线, 从 z1 穿入，从 z2 穿出． 函数，则 先将 x, y 看作定值，将 f (x, y,z)只看作 z 的 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz
计算F(x,y)在闭区间D上的二重积分 22(x,y) DH以,215mJ(xd F(x, yao y≤y2(x),aSx≤b, y2(x) 4,r f(x, 3, z)dv=dx dyf(x,3, z)dz y1(x) G1(x,y) 2也称为先一后二,切条法(先次后x) 注意这是平行于z轴且穿过闭区域内部的 直线与闭区域Ω的边界曲面S相交不多 于两点情形 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下 的三次积分
计算 F(x, y) 在闭区间 D 上的二重积分 ( , ) [ ( , , ) ] . ( , ) ( , ) 2 1 = D z x y z x y D F x y d f x y z dz d : ( ) ( ), , D y1 x y y2 x a x b f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 = b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz ——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 于两点情形． 直线与闭区域 的边界曲面 相交不多 这是平行于 轴且穿过闭区域 内部的 S z 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下 的三次积分
化三次积分的步骤 (1)投影,得平面区域 (2)穿越法定限,穿入点一下限,穿出点一上限 对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法 例1将叮f(x,3d化成三次积分 其中为长方体,各边界面平行于坐标面 解将2投影到xoy面得D,它是一个矩形 在D内任意固定一点(x)作平行于z轴的直线 交边界曲面于两点,其竖坐标为l和m(l<m
化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 例1 将 f (x, y,z)dV 化成三次积分 其中 为长方体，各边界面平行于坐标面 解 将 投影到xoy面得D，它是一个矩形 在D内任意固定一点（x ,y)作平行于 z 轴的直线 交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l < m)
f(x, y, z)dv ∫(x,y,z)dzo Idx dyl f(x,, z)dz 例2计算 xdxdydz 其中是三个坐标面与平面x+y+z=1 所围成的区域
o x y z m l a b c d D。 (x,y) f (x, y,z)dV = D m l [ f (x, y,z)dz]d = b a d c m l dx dy f (x, y,z)dz 例2 计算 xdxdydz 其中 是三个坐标面与平面 x + y + z =1 所围成的区域
解画出区域D0≤ys1-x 0≤x<1 xdxdyda x-y dx dy xdr 0 dx x(1-x-y)dy x(1-x) dx= 24
D x y z o 解 画出区域D 0 1 0 1 − x y x xdxdydz − − − = 1 0 1 0 1 0 x x y dx dy xdz − = − − 1 0 1 0 (1 ) x dx x x y dy = − = 1 0 2 24 1 (1 ) 2 1 x x dx
例3化三重积分Ⅰ=f(x,,dd为三 次积分,其中积分区域2为由曲面 2 2 Z=x +y,y=r ,y 1,x=0 所围成的空间闭区域 解g:0≤z≤x2+ x2≤p≤1,-1≤x≤1 0.5 2,2 y d x dyl f(, y, z)d 0 °.2500.751
例3 化三重积分 I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x ,y = 1, z = 0 所围成的空间闭区域. 1, 1 1. : 0 , 2 2 2 − + x y x z x y − + = 1 1 0 1 2 2 2 ( , , ) x y x I dx dy f x y z dz. 解