曲面及其方程 、曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义: 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形
曲面及其方程 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 曲面的实例： 一、曲面方程的概念
以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M0(x0,y0,x0)、半径为R 的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM0|=R (x-x0)+(y-yn)+(z-zn)2=R 所求方程为(x-xn)+(Uy-n)+(z-zn)2=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2
以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为R 的球面方程. 解 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R
例2求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1:2的 点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,yz)是曲面上任一点, 根据题意有 MO 1 MM0|2 r t tz √(x-2)2+(y-3)2+(-4)22 所求方程为|x+2+(y+1)2+|z+ 4116 3 9
例 2 求与原点O及 (2,3,4) M0 的距离之比为1: 2的 点的全体所组成的曲面方程. 解 设M(x, y,z)是曲面上任一点， , 2 1 | | | | 0 = MM MO 根据题意有 ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + 所求方程为 x + y z
例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的 垂直平分面的方程 解设M(x,y,z)是所求平面上任一点 根据题意有MAH=MB| (x-1)+(y-2)+(z-3)2 =√(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2, 化简得所求方程2x-6y+2z-7=0
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,−1,4)，求线段AB的 垂直平分面的方程. 设M(x, y,z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA|=| MB |, ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z − 3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 解
例4方程z=(x-1)+(y-2)-1的图形是怎样的? 解根据题意有z≥-1 用平面z=c去截图形得圆: (x-1)2+(y-2)2=1+c(c≥-1) 当平面z=c上下移动时, 得到一系列圆 圆心在(1,2,c),半径为1+cx 半径随c的增大而增大.图形上不封顶,下封底
z x o y 例4 方程 ( 1) ( 2) 1 的图形是怎样的？ 2 2 z = x − + y − − 根据题意有 z −1 用平面z = c去截图形得圆： ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x − + y − = + c c − 当平面z = c上下移动时， 得到一系列圆 圆心在(1,2,c)，半径为 1+ c 半径随c的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 解 c
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面)
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放‖
二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z), M1(0,y1,z1 M f(y,z)=0 (2)点M到轴的距离 x+y=yul 将乙=1,y1=士x2+y2代入 f(y1,z1)=0
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=x1,y1=土x2+y2代入f(y1,x1)=0 得方程∫(±√x2+y2,z)=0, y0z坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程 同理:y0x坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+z2)=0. 平面曲线绕某轴旋转,轴坐标变量不变 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z = 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根
例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顶点,两直线的夹角a0<a<“叫圆锥面的半顶 角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为轴,半顶 角为a的圆锥面方程 解y0z面上直线方程为 M1(0,y1,z1) z=scot a 圆锥面方程 z=±√x2+y2cota M(x, y, z)
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶 角为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y o x z y