《高等数学》课程教学资源：第七章 空间直角坐标系（7.2）向量代数

向量代数 向量的概念 向量:既有大小又有方向的量 向量表示:a或M,M, 以M1为起点,M2为终点的有向线段 向量的模:向量的大小.a或|M1M2 单位向量:模长为1的向量.a"或M,M 零向量:模长为0的向量.0

向 量 代 数 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 以M1为起点，M2为终点的有向线段. M1 M2   a  M1M2 模长为1的向量. M1M2 0 0 a 零向量：模长为0的向量. 0  | a |  M1M2 向量的模：向量的大小. | | 单位向量： 一、向量的概念 或 或 或

自由向量:不考虑起点位置的向量 相等向量:大小相等且方向相同的向量 b 负向量:大小相等但方向相反的向量-d 向径:空间直角坐标系中任一点M与原点 构成的向量量.OM

自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a  − 向径： a  b  a  − a  空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. OM M

二、向量的加减法 加法:a+b= (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若db分为同向和反向 Fa+ b =|a|-|b

[1] 加法： a b c    + = a  b  c  （平行四边形法则） 特殊地：若 a  ‖ b  a  b  c  | c | | a | | b |    = + 分为同向和反向 b  a  c  | c | | a | | b |    = − （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 二、向量的加减法

向量的加法符合下列运算规律 (1)交换律:a+b=b+l (2)结合律:a+b+C=(+b)+c=+(b+c) (3)d+(-d)=0. 2减法a-b=a+(-b) b b ra+b C=l+(-b) b =a-b

向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a.     + = + （2）结合律： a b c a b c       + + = ( + ) + a (b c).    = + + （3） ( ) 0.    a + −a = [2] 减法 a b a ( b)     − = + − a b   b  − b  c −  a b c a b      = − = + (− ) a b   + a b   a −  b 

三、向量与数的乘法 设是一个数,向量与λ的乘积规定为 (1)4>0,M与同向,|An=4|l (2)4=0,A=0 (3)4<0,M与反向,|a|=|a 2

设 是一个数，向量a  与 的乘积 a   规定为 (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向，| a | | | | a |    =   a  a  2 a  2 1 − 三、向量与数的乘法

数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:(d)=以(a)=(4) (2)分配律:(+)=aa+ (+b)=l+元b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯的实数,使b=An

数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）分配律： a a a    ( + ) =  +  a b a b     ( + ) =  +  . 0 b a a b a       =   分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系

证充分性显然; 必要性设团a取λ 当b与d同向时取正值 当b与d反向时x取负值,即有b=Mn b 此时与G同向且A=l=l=b λ的唯一性.设b=An,又设b=p, 两式相减,得(孔-)=0,即-山l=0, a≠0,故-=0,即=A

证 充分性显然； 必要性 a  b ‖  设 , a b   取  = 当b 与a同向时 取正值，   当b 与a 反向时 取负值，   b a.   即有 =  此时b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  =  的唯一性. 设 b a，   =  又设b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0， 即 = 

设a表示与非零向量d同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定, d=aa 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 个与原向量同方向的单位向量

设a 表示与非零向量 a同方向的单位向量， 0  按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a    = . | | 0 a a a    = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量

1→b-3t 例1化简a-b+5-b+ 5 1b-3t 解a-b+5-b+ 55 (1-3)+-1-,+.5|b 25 2i--b

例1 化简       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      解       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      a b         = − + − − +  5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b   = − −

例2试用向量方法证明:对角线互相平分的 四边形必是平行四边形 证∵AM=MC BMEMD B Ad=AMt Md= Mc t BM=bc AD与BC平行且相等,结论得证

例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 AM = MC BM = MD AD = AM + MD = MC + BM =BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.   A B D C M a  b 