资金流通问题
资金流通问题
背景 若干地区之间资金每年按一定的比例相互流动, 也有一些资金流出这些地区,不再回来银行为 了使这些地区的资金分布趋向于给定的稳定分 布计划每年向各地区投放或回收一定的资金 本节就讨论这类问题 与人员的等级结构比较资金流通好比等级间 的成员转移,资金的回收或投放好比人员的退 出或调入不同之处:资金的投放可正可负而人 员的调入比例不能为负;二是地区的资金总和 每年是变化的也不同于我们主要研究的人员 总数保持不变的情形
一 .背景 若干地区之间资金每年按一定的比例相互流动, 也有一些资金流出这些地区,不再回来.银行为 了使这些地区的资金分布趋向于给定的稳定分 布,计划每年向各地区投放或回收一定的资金. 本节就讨论这类问题. 与人员的等级结构比较:资金流通好比等级间 的成员转移,资金的回收或投放好比人员的退 出或调入.不同之处:资金的投放可正可负,而人 员的调入比例不能为负;二是地区的资金总和 每年是变化的,也不同于我们主要研究的人员 总数保持不变的情形
二资金分布的基本方程 设有个地区组成系纨第年地区的资金为()≥0 每年从地区流入地区的资金比例为,显然1≥pn20 每年银行向地区投放的资金为(a2<0表示回收 ∑P1<时表示有资金从地流出该系统 记c(t)=(c1(t),…,C(1)l(t)=(a41(t)…ak(t Qk=(p),则我们易推出 c(t+1=c(to+d
二.资金分布的基本方程 k ( ), t i c (t) 0; 设 有 个地区组成系统 第 年地区的资金为 i , 1 0. pi j pi j 每年从地区i流入地区j的资金比例为 显 然 每年银行向地区投放的资金为 ( 0表示回收). di di i p 1时表示有资金从地区i流出该系统. j ij 则我们易推出 记 ( ), ( ) ( ( ), , ( )), ( ) ( ( ), , ( )), 1 1 k k ij k k p t c t c t t d t d t = = = Q c d c(t +1) = c(t)Q + d (1)
从而c(t)=c(0)Q+d∑Q S=0 如果k个地区的资金视为系统的k个状态,并且 增加一个状态表示资金流出这个系统资金的 无后效性表明可以应用马氏链模型描述其变 化过程先不考虑资金投放则资金在k+1个状 态之间的转移矩阵为 (3) R Q 其中第一行对应于状态0,状态0是一个吸收态不妨 假定各地区均对应于非吸收态并且从这些状态
(2) − = = + 1 0 ( ) (0) t s t s 从 而 c t c Q d Q 如果k个地区的资金视为系统的k个状态,并且 增加一个状态表示资金流出这个系统,资金的 无后效性表明可以应用马氏链模型描述其变 化过程.先不考虑资金投放,则资金在k+1个状 态之间的转移矩阵为 (3) = R Q 1 0 P 其中第一行对应于状态0,状态0是一个吸收态.不妨 假定各地区均对应于非吸收态,并且从这些状态
巴可以到达状态0,既形成一个吸收链于是矩阵 I-Q可逆,且 -9)=∑Qt>∞时Q→>0 在(2式中令→>,得到 c(∞o)=l(-Q) 设银行希望各地区资金趋向于稳定分布c*由(4) 得 d=c*(I-Q)=c*一c*Q (5) 对于给定的c和Q,由(5式确定的d可以 使得趋于无穷时,c(t趋于c*但是?
可以到达状态0,既形成一个吸收链.于是矩阵 I-Q可逆,且 ( ) . , 0. 0 − 1 = → → = − t s s I Q Q t 时 Q ( ) ( ) . (4) (2) , −1 = − → I Q t c d 在 式中令 得 到 设银行希望各地区资金趋向于稳定分布c*.由(4) 得 d = c*(I − Q) = c*−c*Q (5) 对于给定的c*和Q,由(5)式确定的d可以 使得t趋于无穷时,c(t)趋于c*.但是?
巴但是我们必须检查当(5代入(2)式后得到的 c(t)=c(0Q+(c*-cQ∑Q S=0 是否对于所以的t=1,2都有分布向量c(t)>=0 分两种情形讨论: 1因为c(0)>=0,Q>=0,若 cr>=c*Q 则c(t)>=0恒成立这时由5得到d,称此时的c 为可达到的
但是我们必须检查当(5)代入(2)式后得到的 (6) − = = + − 1 0 ( ) (0) ( * * ) t s t s c t c Q c c Q Q 是否对于所以的t=1,2,…都有分布向量c(t)>=0. 分两种情形讨论: 1.因为c(0)>=0,Q>=0,若 c*>=c*Q (7) 则c(t)>=0恒成立.这时由(5)得到d,称此时的c* 为可达到的
2(7)式只是c(t)>=0的充分条件可进一步讨 论(6式, c()=c(0)Q+(c*-c*Q∑Q s=0 =c(0)Q+c*(I-022=c(0)2+c*(I-2) C*-lc-c(olQ (8) 记h()=[c*-c(O)Q,则c()≥0的充要条件为E1: c*≥h(t) (9) 条件⑨)可以方便地用来检查c*不能达到,因为只 要存在一个使得E不满足,c便无法到达
2. (7)式只是c(t)>=0的充分条件.可进一步讨 论(6)式, * (8) t t t t s t s t s t s t c c c Q c Q c I Q Q c Q c I Q c c Q c c Q Q [ * (0)] (0) *( ) (0) *( ) ( ) (0) ( * * ) 1 0 1 0 = − − = + − = + − = + − − = − = * ( ) (9) ( ) [ * (0)] , ( ) 0 E : t t t t t c h h c c Q c 记 = − 则 的充要条件为 条件(9)可以方便地用来检查c*不能达到,因为只 要存在一个t,使得Et不满足,c*便无法到达
定理设c*>0.如上面定义记 h(s)=∑|h(s)H(s)=(h(s),…h2(s))(10) 1)若存在某个,使得条件F mn c1≥h(s) (11) 成立则条件E对所以的≥s均成立 2)必存在某个使得条件F成立 定理表明对充分大的条件F都是成 立的因此我们只要对在S前的逐一判 断条件E是否成立即可:如果有某个tE 不成立,则c不可达到;否则,c能达到
2). . , . min ( ) 1). , : ( ) | ( ) |, ( ) ( ( ), , ( )) * 0, ( ) , 0 0 * 1 1 必存在某个 使得条件 成 立 成 立 则条件 对所以的 均成立 若存在某个 使得条件 定 理 设 如上面定义记 s t i s k k i i s F E t s c s s F s h s s h s h s s = = = (11) (10) h h h c h 定理表明,对充分大的t,条件Ft ,Et都是成 立的.因此,我们只要对在s0前的t逐一判 断条件Et是否成立即可:如果有某个t, Et 不成立,则c*不可达到;否则,c*能达到
判断c能否达到的程序图: Q,c2,c(0) ≥c*Q 否 达 是 是 到 否 是 E 是 否 否 2 E 不可达到
判断c*能否达到的程序图: Q,c*,c(0) c* c*Q F0 F1 E1 c* 可 达 到 c* 不 可 达 到 是 否 否 否 否 否 是 是 是 是 F2 E1 否 是 是 …
巴例三个地区的资金流通比例矩阵为 1/301/31初始分布为c(0=(9,3,6 Q=1/31/31/3 判断稳定分布c*=(12,6,3) 能否达到;若能达到问银 02/31/3 行每年应如何投放资金 解按照程序,我们来逐一判断如下: 检验c>=c*Q经计算c*Q=(6,4,可知条件 c*>=c*Q不成立 2检验F计算(O)=c*-c(0)=(33,-3),h(O)=9 可知条件F不成立
例 三个地区的资金流通比例矩阵为 . 0 2 / 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 1/ 3 Q = 初始分布为c(0)=(9,3,6). 判断稳定分布c*=(12,6,3) 能否达到;若能达到,问银 行每年应如何投放资金. 解 按照程序,我们来逐一判断如下: 1.检验c*>=c*Q.经计算, c*Q=(6,4,7),可知条件 c*>=c*Q不成立. . 2. . (0) * (0) (3,3, 3), (0) 9. 0 0 可知条件 不成立 检 验 计 算 F F h = c −c = − h =