第三讲规划模型 规划模型,特别是线性规划模型是数 学在经济社会中应用最广泛的一种 数学模型
第三讲 规划模型 规划模型,特别是线性规划模型是数 学在经济社会中应用最广泛的一种 数学模型
问题1生猪出售的时机 饲养场每天头投入4元资金用于饲养以及设备、 人力,估计可使得一头80kg的生猪每天增重2kg目 前生猪出售的市场价格是8元/kg,但是预测每天会 降低0.1元问该什么时候出售这样的生猪?如果上 面的估计和预测有出入,对结果有多大影响 问题分析饲养场每天投入4元按目前的的价格, 可以产生16元的经济效益,因此值得饲养这种生 猪但是,估计价格会逐步降低,我们可以想象,当 价格降得太低时,那时饲养生猪便无利可图.因此 存在一个适当的出售生猪的时机使得饲养场获 得的利润最大
问题1 生猪出售的时机 一饲养场每天头投入4元资金用于饲养以及设备、 人力,估计可使得一头80kg的生猪每天增重2kg. 目 前生猪出售的市场价格是8元/kg,但是预测每天会 降低0.1元.问该什么时候出售这样的生猪?如果上 面的估计和预测有出入,对结果有多大影响. 问题分析 饲养场每天投入4元,按目前的的价格, 可以产生16元的经济效益,因此值得饲养这种生 猪.但是,估计价格会逐步降低,我们可以想象,当 价格降得太低时,那时饲养生猪便无利可图.因此 存在一个适当的出售生猪的时机,使得饲养场获 得的利润最大
模型假设每天投入4元资金使得这种生猪体重 每天增加常数rkg,生猪出售的市场价格每天降 低常数s元r=2,s=0.1 我们假设生猪可以随时出售,且能够全部售出(即 需求量远大于此饲养场的生猪数量) 模型建立我们记第天时一头生猪的体重为形 公斤,出售生猪的单价为p元/kg;从现在到第天 为止投入的资金为C元R为出售收入(单位: 元,Q为从现在开始所获得的纯利润(单位:元) W=80+rt,p=8-s,C=4t, R=pH=(8-s)(80+P)
模型假设 每天投入4元资金使得这种生猪体重 每天增加常数r kg,生猪出售的市场价格每天降 低常数s元. r=2, s=0.1. 我们假设生猪可以随时出售,且能够全部售出(即 需求量远大于此饲养场的生猪数量). 模型建立 我们记第t天时一头生猪的体重为w 公斤,出售生猪的单价为p元/kg;从现在到第t天 为止投入的资金为C元;R为出售收入(单位: 元),Q为从现在开始所获得的纯利润(单位:元). (8 )(80 ); 80 , 8 , 4 , R pw st rt w rt p st C t = = − + = + = − =
=80+rt,p=8-s,C=4t, R=pH=(8-s)(80+r) Q=R-C-8×80 生猪 目前 =(8)80+r)-4t-640价值 640元 =-rSt2+(8r-80s-4)t (1) 在t≥0上求使得函数(t)最大
在t 0上求t使得函数Q(t)最大. (8 80 4) (1) (8 )(80 ) 4 640 8 80 2 rst r s t st rt t Q R C = − + − − = − + − − = − − 生猪 目前 价值 640元 (8 )(80 ); 80 , 8 , 4 , R pw st rt w rt p st C t = = − + = + = − =
Q=-rSt+(8r-80s-4)t (1) 模型求解用配方法我们知:当 4r-40s-2 (2) S 时Q取得最大值现严=2=0.1,则当仁10时, 20 max 敏感性分析由于模型假设中的参数(r,s)时估 计和预测的所以我们应该它们有所变化时对 模型结果的影响这就是敏感性分析
模型求解 用配方法我们知:当 (2) 4 40 2 rs r s t − − = 时Q取得最大值.现r=2,s=0.1,则当t=10时, Qmax=20. 敏感性分析 由于模型假设中的参数(r,s)时估 计和预测的,所以我们应该它们有所变化时对 模型结果的影响.这就是敏感性分析. (8 80 4) (1) 2 Q = −rst + r − s − t
1.设s=01保持不变研究r对结果的影响由(2)得 40-60 60 t =40-一,P≥1.5 可以看出,t是r的增函数r=1.9,=84;r=2.1,=1.4; 2.设产=2保持不变,研究对结果的影响由(2)得 3-20s3 20.0≤S≤0.15 可以看出,是的减函数s=009,=133; s=0.11,t=7.3 4r-40s-2
1. 设s=0.1保持不变,研究r对结果的影响.由(2)得 , 1.5. 60 40 40 60 = − − = r r r r t (2) 4 40 2 rs r s t − − = 2. 设r=2保持不变,研究s对结果的影响.由(2)得 20, 0 0.15. 3 20 3 = − − = s s s s t 可以看出,t是r的增函数.r=1.9,t=8.4; r=2.1,t=11.4; 可以看出,t是s的减函数.s=0.09,t=13.3; s=0.11,t=7.3;
3我们也可以用相对改变量来表示结果对参数 的敏感程度对r的敏感程度记做S(tr),它为 △t/trdt s(t,r= △/rtdr 解释 r6060 本例中S(t,r)它、tsd 3. 2 tr 同理,S(t,s) △s/stds 解释 本例中S(t,s)≈ 3 60 3 t=40 20
3. 我们也可以用相对改变量来表示结果对参数 的敏感程度.t对r的敏感程度记做S(t,r),它为 dr dt t r r r t t S t r = / / ( , ) , 60 40 r t = − 3. 60 60 , ( , ) 2 = = t r t r r 本例中 S t r 解 释 ds dt t s s s t t S t s = / / 同理, ( , ) 3. 3 , ( , ) − = − st 本例中 S t s 解 释 20. 3 = − s t
强健性分析( Robustness) 建模过程中我们假设了生猪的体重增加和价 格的降低都是常数,由此得到的w和p都是线性 函数,这是对现实情况的简化.一般地我们记 H=w(O),p=p(0,则(1)式为 Q(t)=p(tw()-4t-640. 求导求极值:Q(t)=p(t)w(t)+p(t)w()-4=0 得p(t)w()+p(t)w(t)=4 解释
强健性分析(Robustness) 建模过程中我们假设了生猪的体重增加和价 格的降低都是常数,由此得到的w和p都是线性 函数,这是对现实情况的简化.一般地,我们记 w=w(t),p=p(t),则(1)式为 Q(t) = p(t)w(t) − 4t − 640. ( ) ( ) ( ) ( ) 4. : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0, + = = + − = p t w t p t w t Q t p t w t p t w t 得 求导求极值 解释
问题2消费者的选择 MI 回忆实物交换模型: 我们引入了无差别曲线 N X1 X2 X0 X 现在我们利用无差别曲线来考虑当一个消费者 用一定数量的钱来购买这两种商品时,他会如 何安排他的钱来购买它们呢? 记消费者占有这两种商品的数量分别为q1,q2,这 时消费者的满意度,或者说商品给消费者带来 的效用记做U(q12,经济学中称为效用函数
问题2 消费者的选择 回忆实物交换模型: 我们引入了无差别曲线 O x y y0 x0 M N y1 x1 p1 y2 x2 p 2 M1 N1 · ·p3 · 现在我们利用无差别曲线来考虑当一个消费者 用一定数量的钱来购买这两种商品时,他会如 何安排他的钱来购买它们呢? 记消费者占有这两种商品的数量分别为q1 ,q2 ,这 时消费者的满意度,或者说商品给消费者带来 的效用记做U(q1 ,q2 ),经济学中称为效用函数
U(q1,q2)=c的图形 就是无差别曲线 M图解法 设两种商品的单价分别为P2 P1,p2消费者有钱s元因此 他的选择是使得U(q1,q2)达 到最大经济学上称这种最 优状态为消费者的均衡. q1,q2确定时,他用于购买两种商品找 分别为1q1,P2q2因此模型为 Ee max(u, 42), S.t. P1 1+P292=S 当U(q1,q2)函数确定局便可用 Lagrange乘数法 解释结果一致 求解,最优解应满足 au aL P1:P2 aq aq2
U(q1 ,q2 )=c的图形 就是无差别曲线. 设两种商品的单价分别为 p1 , p2 ,消费者有钱s元.因此 他的选择是使得U(q1 ,q2 )达 到最大.经济学上称这种最 优状态为消费者的均衡. O q1 q2 M N M1 N1 Q · p2 s p1 s max ( , ), . . . , . , , 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 U q q s t p q p q s p q p q q q 求 + = 分别为 因此模型为 确定时 他用于购买两种商品的钱 图解法 , : : . ( , ) , Lagrange 1 2 1 2 1 2 p p q U q U U q q = 求 解 最优解应满足 当 函数确定后便可用 乘数法 解 释 结 果 一 致
