投资的收盖和风险 1998年全国大学生数 学模型竞赛A题
投资的收益和风险 1998年全国大学生数 学模型竞赛A题
市场上有n种资产(如股票、债券 S;(i=1,2,,n)供投资者选择,某公司有数额 为M的一笔相当大的资金可用于作一个时期 的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行 了评估,估算出在这一时期内购买S的平均收 益率为r,并预测出购买S的的风险损失率为 考虑到投资越分散,总的风险越小,公司 确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总 体风险可用所投资的S中最大的一个风险来度 量
问题 市场上有n种资产（如股票、债券、……） Si（i=1,2,…,n）供投资者选择，某公司有数额 为M的一笔相当大的资金可用于作一个时期 的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行 了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收 益率为ri，并预测出购买Si的的风险损失率为 qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司 确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总 体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度 量
购买S要付交易费,费率为n,并且当购买额 不超过给定值u时,交易费按购买u计算(不 买当然无须付费)。另外,假定同期银行存款 利率是r,且既无交易费又无风险。(r=5%) 1)已知n=4时的相关数据如下 S7(%)q%),%)U元) S 28 2.5 103 21 1.5 2 198 234 23 5.5 4.5 52 S 25 2.6 6.5 40
购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额 不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不 买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险。（r0=5%） 1)已知n=4时的相关数据如下： Si ri (%) qi (%) pi (%) ui (元) S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给 定的资金M,有选择地购买若干种资产或存 银行生息,使净收益尽可能大,而总风险尽 可能小。 2)试就一般情况对以上问题进行讨论,并 利用以下数据进行计算。 r(%)q%)p(%)u(元) 9.6 42 2.1 181 18.5 54 32407 2345 494 60 6.0428 23942 1.5549 8.1 1.2 7.6 270
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给 定的资金M，有选择地购买若干种资产或存 银行生息，使净收益尽可能大，而总风险尽 可能小。 2)试就一般情况对以上问题进行讨论，并 利用以下数据进行计算。 Si ri (%) qi (%) pi (%) ui (元) S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270
r(%)q%)p(%)u(元) 14 39 34397 ssssssSSSSS 6789 40.7 68 5.6 178 31.23343.1 220 33653.32.7 475 10 368 40 2.9 248 11831 5.1 195 12 9 5.5 5.7 320 13 35 46 2.7 267 14 94 5.3 45328 15 15 23 7.6 131
Si ri (%) qi (%) pi (%) ui( 元 ) S 6 14 39 3.4 397 S 7 40.7 68 5.6 178 S 8 31.2 33.4 3.1 220 S 9 33.6 53.3 2.7 475 S10 36.8 40 2.9 248 S11 11.8 31 5.1 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131
出题者给出的参考答案 关于每种资产的交易费、净收益、投资风 险及资金约東 设购买S的金额为x,所需的交易费c;x),则 c(x0)=0, c;(x1)={p1,0<x<1,=1,…,n(1) P1;x2≥
出题者给出的参考答案 一、关于每种资产的交易费、净收益、投资风 险及资金约束 设购买Si的金额为xi，所需的交易费ci (xi )，则 c0 (x0 )=0, 0 , 1,..., (1) 0 , , 0, ( ) i n x u x u x p x c x p u i i i i i i i i i i i = = =
对S的投资的净收益、风险和所需资金分别为: R(x1)=Fx1-c1(x) Q(x1)=91;(q=0) (3) f1(x;)=x1+c1(x)
对Si的投资的净收益、风险和所需资金分别为： ( ) ( ) (2) i i i i i xi R x = r x − c ( ) ( 0) (3) Qi xi = qi xi q0 = ( ) ( ) (4) i i i i xi f x = x + c
净收益总额: R(x)=∑R(x:) (5) i=0 总体风险: Q()=max (x:) 0≤i<n 资金约束: n F(x)=∑f(x1) 0
净收益总额： 总体风险： 资金约束： ( ) ( ) (5) 0 i n i R x Ri x = = ( ) max ( ) (6) 0 i i i n Q x Q x = ( ) ( ) (7) 0 i n i F x fi x = =
二、优化问题的模型: min(e() R(Di st ∫F(x)=M (8) ≥0 模型中有两个目标,下面考虑将模型简化
二、优化问题的模型： 1. 模型中有两个目标，下面考虑将模型简化。 (8) 0 ( ) . . min{( ( ), ( ))} = − x F x M s t Q x R x
2简化为单目标优化问题: 21.确定平均风险水平q,记 k=gM 则,模型简化为: max r(x) Q(x)≤k S.F(x)=M x≥0
2.简化为单目标优化问题： 2.1. 确定平均风险水平 q ，记 k = qM, 则，模型简化为： (9) 0 ( ) ( ) . . max ( ) = x F x M Q x k s t R x