军备竞赛模型 背景:两个国家或者两个国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的 军事力量,防御对方可能发动的战争. L.F. Richardson1939年提出了一个军备竟赛的数学 模型用来描述军备竞赛的过程并对军备竞赛的结 果作出预测或解释
军备竞赛模型 背景: 两个国家或者两个国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加自己的 军事力量,防御对方可能发动的战争. L.F.Richardson 1939年提出了一个军备竞赛的数学 模型,用来描述军备竞赛的过程,并对军备竞赛的结 果作出预测或解释
模型假设与构成 我们用军备一词来表示一方的军事力量的总和如 兵力、装备、军事预算等甲乙双方在时刻t的军备 分别记为x(和yO假定它们的变化只取决于以下 三个方面的因素 1由于相互不信任以及矛盾的发展,一方军备越大, 另一方军备增加得越快; 2由于各方本身经济实力的限制,任一方的军备越大, 经济对军备的制约作用就越大; 3由于相互敌视或者领土争端每一方都存在增加 军备的固有潜力;
模型假设与构成 我们用军备一词来表示一方的军事力量的总和,如 兵力、装备、军事预算等.甲乙双方在时刻t的军备 分别记为x(t)和y(t).假定它们的变化只取决于以下 三个方面的因素: 1.由于相互不信任以及矛盾的发展,一方军备越大, 另一方军备增加得越快; 2.由于各方本身经济实力的限制,任一方的军备越大, 经济对军备的制约作用就越大; 3.由于相互敌视或者领土争端,每一方都存在增加 军备的固有潜力;
进一步假设前两个因素的影响是线性的第三个因素的 影响为常数则模型为 x()=-+小y+g lj(=Ix-By+h (1) 当这些因素已知时结局如何?即观察t>∞时, x(()的变化趋势. 为此我们来研究微分方程组(1)的平衡点的稳定情 况易求出(1)的平衡点为 (x0,J)=( kh+ Bg ah+gl aB-kl aB-kl
进一步假设前两个因素的影响是线性的,第三个因素的 影响为常数.则模型为 (1) ( ) ( ) = − + = − + + y t l x y h x t x ky g 当这些因素已知时,结局如何?即观察t→∞时, x(t),y(t)的变化趋势. 为此,我们来研究微分方程组(1)的平衡点的稳定情 况.易求出(1)的平衡点为 ( , ) ( , ) 0 0 kl h gl kl kh g x y − + − + = ?
a k 又:(1系数矩阵为 特征值为 l-B ==(+6)±√ ,其中△=4(a+f)2-(aB-M) 2 从上面的表达式我们可以看出:两个特征值都是实数 当郇B>k时两个特征值都是负的而当a<小时两个特 征值一正一负 结论:当哪时,平衡点x0o)是稳定的; 而当④k时平衡点x0是不稳定的
, 4[( ) ( )]. 2 ( ) :(1) , 2 kl l k = + − − − + = − − 其 中 又 的系数矩阵为 特征值为 从上面的表达式我们可以看出:两个特征值都是实数; 当αβ >kl时,两个特征值都是负的,而当αβkl时, 平衡点(x0 ,y0 )是稳定的; 而当αβ<kl时,平衡点(x0 ,y0 )是不稳定的
模型的定性解释 1.当aP>k时,双方的经济制约作用@大于双方的军 备刺激程度k时军备竞赛才会趋于稳定稳定一个有 狠值)反之军备将趋于无穷军备竞赛将无限地进行 下去可能导致战争 2特例=h=0时则平衡点为O上面的结论可搬过来; 另外若在某个时刻双方的军备为零则将永远保持为 零当双方不存在任何敌视和争端时通过裁军可达到 永久和平如美国和加拿大之间就是如此
模型的定性解释 1. 当αβ >kl时, 双方的经济制约作用αβ大于双方的军 备刺激程度kl时,军备竞赛才会趋于稳定(稳定一个有 限值).反之,军备将趋于无穷,军备竞赛将无限地进行 下去,可能导致战争. 2. 特例:g=h=0时,则平衡点为O.上面的结论可搬过来; 另外,若在某个时刻双方的军备为零,则将永远保持为 零.当双方不存在任何敌视和争端时,通过裁军可达到 永久和平.如美国和加拿大之间就是如此
3如果g,h≠0,即使由于某个特殊原因如裁军协定)导 致在某个时刻双方的军备大减可近似看作零那么此 时(1)近似为 ∫c()=g j()=h 双方的军备仍将继续增长,即双方将重整军备这说 明未经和解的裁军是不会持久的 4.如果出于某种原因(如战败或协议)使得在某 时候一方的军备大减比如x(t)=0但由于 x(1)=-aX+k+g≈ky+g 这将使得该方重整军备表明存在不信任(k0或者 团有争端(g0)的单方面裁军也不会持久
3. 如果g,h≠0,即使由于某个特殊原因(如裁军协定)导 致在某个时刻双方的军备大减,可近似看作零.那么此 时(1)近似为 ( ) ( ) = = y t h x t g 双方的军备仍将继续增长,即双方将重整军备.这说 明未经和解的裁军是不会持久的. 4. 如果出于某种原因(如战败或协议)使得在某一 时候一方的军备大减,比如x(t0 )=0,但由于 x (t) = −x + ky + g ky + g 这将使得该方重整军备.表明存在不信任(k ≠0)或者 固有争端(g≠0)的单方面裁军也不会持久
二维自治系统的稳定性理论 r (t=f(x,x,) 的平衡点就是代数方程 (t)=g(x,x2) f(x,x2)=0 lg(x,x2)=0 的根比如x1,x20 如果对平衡触的任一邻域,存在x的某个邻域1 只有初值(0)eU就有 x(t)∈U,t>0 就称平衡点是稳定的否则就称是不稳定的 若还有limx(t)=P,则称平衡点是渐近稳定的 →+
二维自治系统的稳定性理论 , ) , ) 的平衡点就是代数方程组 = = 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ( ) ( x t g x x x t f x x . , ) 0 , ) 0 P(x ,x ) g x x f x x . ( ( 0 2 0 0 1 1 2 1 2 的 根比 如 = = . . ( ) , 0, (0) , , , 1 0 1 就称平衡点 是稳定的否则就称 是不稳定的 只有初值 就 有 如果对平衡解 的任一邻域 存 在 的某个邻域 j j j x x x t U t x U P x U U lim ( ) , . 若还有 t→+ x t = P0 则称平衡点P0是渐近稳定的
对于非线性自治系纖们将它在点附近作 阶 Taylor展开得到近似线性方程 x(D)=∫(x1,x2)x1-x1)+f(x1,x2)x2-x2 2(1)=8(x1,x2)(x-x1)+g,(x1,x2)(x2-x2) 系数矩阵A= 特征方程系数为=-(fn+g)2q=detA 结论: (1)p>0,q>0时平衡点是稳定的; (2)P<0或q<0时平衡点是不稳定的
- ) - ) - ) - ) = + = + 0 2 2 0 2 0 1 0 1 1 0 2 0 2 1 0 2 2 0 2 0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 ( ) ( )( ( )( ( ) ( )( ( )( , , 1 2 1 2 x t g x ,x x x g x ,x x x x t f x ,x x x f x ,x x x Taylor P x x x x 一 阶 展 开 得到近似线性方程 对于非线性自治系统我们将它在 点附近作 ( )| , det | . 1 2 P0 P0 特征方程系数为p = − f x + gx q = A 0 1 2 1 2 P x x x x g g f f 系数矩阵 A = 结论: (1)p>0,q>0时,平衡点是稳定的; (2)P<0或q<0时,平衡点是不稳定的
