传染病模型
传染病模型
本节我们试图建立关于传染病的传播过程的数学模型大 家对2003年春的SAAS依然铭刻于心因为它给我们国家带 来了非常巨大的损失,一度情形非常危急另外,象爱滋病肺 结核,传染性肝炎等传染病也极大地危害着人们的生命财 产安全 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点弄清这 些特点需要许多的病理知识这不是我们在这里探讨的我们 是按照一般的传播机理建立一些模型先从简单模型起. 模型1设时刻的病人人数x(是连续函数而且可导并且每 个病人每天有效接触(足以使人致病的接触的人数为常数不 考虑传染期内的死亡等因此在时间到4的时段内病人的增 加数为 x(t+At)-x(t)=Ax(t),从而模型为 =ux(t),x(t0)=x0 dt 其解为x(t)=xe A(-t0)
本节我们试图建立关于传染病的传播过程的数学模型.大 家对2003年春的SAAS依然铭刻于心,因为它给我们国家带 来了非常巨大的损失,一度情形非常危急.另外,象爱滋病,肺 结核,传染性肝炎等传染病也极大地危害着人们的生命财 产安全. 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这 些特点需要许多的病理知识,这不是我们在这里探讨的.我们 是按照一般的传播机理建立一些模型.先从简单模型起. 模型1 设时刻t的病人人数x(t)是连续函数而且可导,并且每 个病人每天有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数λ,不 考虑传染期内的死亡等.因此在时间t到t+Δt的时段内病人的增 加数为 x(t + t) − x(t) = x(t)t,从而模型为 ( ), ( ) . 0 x0 x t x t dt dx = = ( ) 0 0 ( ) t t x t x e − = 其解为
模型评价:由于随着时间t的增加,病人人数无限增长,与实际 不符,需改进 模型2(S模型)假设条件为 1在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑人口的 流动将人群分为易感染者( Susceptible和已感染者( Infective) 两类以下简称为健康者和病人在时刻这两类人占总人数的比 例分别为s()和i(,s()+i()=1. 2每个病人每天有效接触的平均人数为常数为入称为日接触 率当病人与健康者进行了有效接触时,健康者变为病人 根据假设每个病人每天接触个人,其中健康者入()个,他 们变成病人,因此每天有Ni(O·^s()个健康者变成病人,从而 N=ANi=AN(1-i),因此模型为 ni(1-i),i(0)=io 这个模型称为 Logistic模型,其解为i(t)=
模型评价:由于随着时间t的增加,病人人数无限增长,与实际 不符,需改进. 模型2(SI模型) 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑人口的 流动.将人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective) 两类,以下简称为健康者和病人.在时刻t这两类人占总人数的比 例分别为s(t)和i(t). s(t)+i(t)=1. 2.每个病人每天有效接触的平均人数为常数为λ,称 λ为日接触 率.当病人与健康者进行了有效接触时,健康者变为病人. 根据假设,每个病人每天接触λ个人,其中健康者λs(t)个,他 们变成病人,因此每天有 Ni(t)• λs(t)个健康者变成病人,从而 (1 ), (0) . (1 ), 0 i i i i dt di Nis Ni i dt di N = − = = = − 因此模型为 . (1 ) Logistic , ( ) 0 0 0 t i i e i i t − + − 这个模型称为 模 型 其解为 =
模型的分析与评价先传出和(0)~-的图形如下: 2+(1-i0)e-a d=ni(1-1) dt 0.5 0.5 由图可知当≠=05时,(达到最大,此时tn=n(10-1),这时病 人增加的速度最快可以认为这是这是门诊量最大的一天即 传染病的高潮到来是医疗卫生部门最关注的时刻.tn与成反 比因为日接触率表示该地区的卫生水平,越小表示卫生水平 越高所以改善保健设施提高卫生水平可以推迟传染病高潮 的到来 当t→∞时,i→1,即所以人都将被传染被成病人 绝大多数情况下不符合际
模型的分析与评价 先作出i(t)~t和i´(t)~t的图形如下: O 0.5 1 i m dt di ( ) dt di t m t 0 i 0.5 1 O i 由图可知,当i=0.5时, i´(t)达到最大,此时tm=ln(1/i0 -1)/λ,这时病 人增加的速度最快,可以认为这是这是门诊量最大的一天,即 传染病的高潮到来,是医疗卫生部门最关注的时刻. tm与λ成反 比,因为日接触率表示该地区的卫生水平, λ越小表示卫生水平 越高.所以改善保健设施,提高卫生水平可以推迟传染病高潮 的到来. . , 1, . 绝大多数情况下不符合实 际 当t → 时 i → 即所以人都将被传染而变成病人 t i i e i i t − + − = (1 ) ( ) 0 0 0 i(1 i) dt di = −
上面的模型仅仅考虑了健康人可以被传染没有考虑到病人 可以治愈,即病人可以变成健康人的情形. 模型3SIS模型)有些传染病如伤风、痢疾等病愈后免疫力 很低,可以假定没有免疫力于是病人病人被治愈后变成健康 者,健康者还可以被感染再变成病人,故称SIS模型 SIS模型的假设条件除上面的假设条件1,2外增加假设条件 3每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ称p为日治 愈率病人治愈后仍可被感染于是1/μ是这种传染病的平均传 染期 这时模型为N=AN-A,即 dil≥(1-i)-,i(0)=l 其解为(t) 元+[ 元--1p(,元≠()= +iota
上面的模型仅仅考虑了健康人可以被传染,没有考虑到病人 可以治愈,即病人可以变成健康人的情形. 模型3(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等病愈后免疫力 很低，可以假定没有免疫力.于是,病人病人被治愈后变成健康 者,健康者还可以被感染再变成病人,故称SIS模型. SIS模型的假设条件除上面的假设条件1,2外,增加假设条件 3.每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ,称μ为日治 愈率.病人治愈后仍可被感染.于是1/μ是这种传染病的平均传 染期. 这时模型为 Nsi Ni,即 dt di N = − , . 1 , ; ( ) [ ] ( ) 0 0 ( ) 0 = + = − − + − = − i t i i t e i i t t 其解为 (1 ) , (0) . 0 i i i i i dt di = − − =
容易看出当≥时,i(t)→>0t-0) 当μ1 O>1
, ( ) 1 / ( ). , , ( ) 0( ); → − → → → i t t i t t 当 时 容易看出当 时 定义σ=λ/μ,由λ和μ的意义,我们知道σ是整个传染期内每个病 人有效接触的平均人数,称为接触数.模型可写为 O i 1 1− dt di 1 t 0 i O i 0 i 1 1 1− )] 1 [ (1 = −i i − − dt di
从上面我们可以看出接触数σ=1是一个阚值当σ>1时,i) 的增减性取决于初值当G<1时病人的比例()单调减少并 最终趋于零 模型4(SIR模型)大多数传染病如流感、肝炎、麻疹、 天花等治愈后都有很强的免疫力所以治愈的人既非易感染者, 也非病人,他们已经退出传染系统 模型假设: 总人数N不变人群分为健康者、病人和移出者( Removed三 类这三类人在总人数N中的比例分别为(),i(O,r() 2病人的日接触率为λ,日治愈率为μ,传染期接触数为σ 因些我们有 S()+i(1)+r(1)=1,N=NAi
从上面我们可以看出,接触数σ=1是一个阈值.当σ>1时, i(t) 的增减性取决于初值.当σ<1时病人的比例i(t)单调减少并 最终趋于零. 模型4(SIR模型) 大多数传染病如流感、肝炎、麻疹、 天花等治愈后都有很强的免疫力,所以治愈的人既非易感染者, 也非病人,他们已经退出传染系统. 模型假设: 1.总人数N不变.人群分为健康者、病人和移出者(Removed)三 类,这三类人在总人数N中的比例分别为s(t),i(t),r(t). 2.病人的日接触率为λ,日治愈率为μ,传染期接触数为σ. 因此我们有 ( ) ( ) ( ) 1, N i. dt dr s t + i t + r t = N =
于是SR模型为dr ai,r(0)= =Asi-,i(0) dt =-Asi,(0)=S0 由于后两个方程自成一个系统因此我们也可以说它们就是我 们所要的模型这是一个非线性的常微分方程组我们不能直 接求出解析解只能进行数值计算或者进行相轨线分析 我们在一个平面上作出的s图形(t为参数,称为相轨线si 平面称为相平面 相轨线分析从上面我们知道s的定义域为 D={(S,):S≥0,i≥0,s+i≤1}
于是SIR模型为 0 0 0 , (0) , (0) , (0) si s s dt ds si i i i dt di i r r dt dr = − = = − = = = 由于后两个方程自成一个系统,因此我们也可以说它们就是我 们所要的模型.这是一个非线性的常微分方程组,我们不能直 接求出解析解.只能进行数值计算或者进行相轨线分析. 我们在一个s~i平面上作出的s~i图形(t为参数),称为相轨线. s~i 平面称为相平面. 相轨线分析 从上面我们知道,(s,i)的定义域为 D ={(s,i):s 0,i 0,s + i 1}
而,满足ds-as i==i2故(s)线为 i=S+0-s+-ln-,(S,1)∈D 我们从SR模型可以看出,(t)单调减少,故有极限;再由上式 我们知道,(也有极限同样,r(t)单调增加从而也存在极限 作出SR模型的相轨线如图 我们将→∞时它们的极限 分别记为n,r 1我们来证明无论初值如何,病人 最终将消失相轨线即交于s轴 反证法若i=E>0,则充分大的有 ar l 8 它将导致
而s,i满足 ln ,( , ) . 1 1, | , ( ) 1 0 0 0 0 0 s i D s s i s i s i i i s ds s di s s = + − + = − = = 故 曲线为 我们从SIR模型可以看出,s(t)单调减少,故有极限;再由上式 我们知道,i(t)也有极限;同样,r(t)单调增加,从而也存在极限. 作出SIR模型的相轨线如图. 1 1 s i • • P1 P2 1 s 1.我们来证明无论初值如何,病人 最终将消失.相轨线即交于s轴. , , . → s i r t 分别记为 我们将 时它们的极限 , . 2 . 0, , = = r dt dr i t 它将导致 反证法若 则充分大的 有
2最终未感染的人数的比例为s我们令(s)=0得关于S的方 程 s +L-s 小 0 其根在区间(0,1/)内 3若S>1/,则i(t)先增加当s=1o时,(t达到最大值 =s+ [+In(oso) 然后)单调减少至0,s(t)自始至终单调减少至s如图中从P出 发的轨线 4若s01G时传染病会 蔓延注意s几乎接近1因此要想传染病不蔓延就必须
2.最终未感染的人数的比例为 s∞.我们令i(s)=0得关于s∞的方 程 ln 0, 1 0 0 + 0 − + = s s s i s 其根在区间(0,1/σ)内. 3.若s0> 1/σ,则i(t)先增加,当s=1/σ时, i(t)达到最大值 [1 ln( )]. 1 0 0 0 i s i s m = + − + 然后i(t)单调减少至0,s(t)自始至终单调减少至s∞.如图中从P1出 发的轨线. 4.若s0 1/σ时传染病会 蔓延.注意s0几乎接近1,因此要想传染病不蔓延,就必须