Lanchester战争模型
Lanchester战争模型
背景:早在第一次世界大战期间, F W.Lanchester就提出了几 个预测战争结局的模型后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释用以分析历史上一些著名的战争而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用 1.一般战争模型用x(0和vQ表示甲乙交战双方在时刻的 兵力不妨就假设为双方的士兵数假设 1每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用x)和g(xy)表示 2每方的非战斗减员率由疾病逃跑等因素引起的只与本方的 兵力成正比分别用a和的表示 3甲乙双方的增援率是给定的函数分别用(和v(表示 模型为 ∫x()=-f(xy)-x+( j(t)=-g(x,y)-+v(
背景:早在第一次世界大战期间,F.W.Lanchester就提出了几 个预测战争结局的模型.后来人们对这些模型作了改进和进 一步解释,用以分析历史上一些著名的战争,而且曾对说服 美国1975年结束越南战争起了重要的作用. 1.一般战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的 兵力,不妨就假设为双方的士兵数.假设 1.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,甲乙双方 的战斗减员率分别用f(x,y)和g(x,y)表示. 2.每方的非战斗减员率(由疾病,逃跑等因素引起的)只与本方的 兵力成正比,分别用αx和βy表示. 3.甲乙双方的增援率是给定的函数,分别用u(t)和v(t)表示. 模型为 (1) = − − + = − − + ( ) ( , ) ( ), ( ) ( , ) ( ), y t g x y y v t x t f x y x u t
2.正规战争模型 在正规部队作战时双方公开活动一方士兵 处于另一方的射杀范围内,一方的战斗减员率只 与另一方的兵力有关可设与y成正比则模型为 dx =-ay-our +u(t), at =-bx-βy+v(t) at (a,b分别为双方每个士兵的均杀伤力由多种因素 决定) 若考虑无后援与无非战斗减员则(2)可简化为:
2. 正规战争模型 在正规部队作战时,双方公开活动,一方士兵 处于另一方的射杀范围内,一方的战斗减员率只 与另一方的兵力有关,可设f与y成正比.则模型为 (2) ( ) . ( ) , = − − + = − − + b x y v t d t d y a y x u t d t d x ) , . ( , 决 定 a b分别为双方每个士兵的平均杀伤力由多种因素 若考虑无后援与无非战斗减员,则(2)可简化为:
bx 3) dt x(0)=x0,y(0)=y 进行轨线分析: bx →ady=bxd 两边积分得: 4-bx ay -bxo = k 若k>0,则a2>bx2,乙方胜 若k=0,则双方平局 若k<0,则甲方胜
(3) (0) , (0) 0 0 = = = − = − x x y y b x d t d y a y d t d x 进行轨线分析: aydy bxdx ay bx dx dy = = 两边积分得: (4) 2 0 2 2 2 a y − b x = a y 0 − b x = k 0, . 0, ; 0, , ; 2 2 若 则甲方胜 若 则双方平局 若 则 乙方胜 = k k k ay bx
轨线族 ay'-bx =ayo -bxo= k J >0 k<0
(4) 2 0 2 2 2 a y − b x = a y 0 − b x = k 轨线族: k>0 k<0 k=0 x y
同时我们考虑 若k>0,则 b 进一步分析a,b.表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤 率也可称作战斗有效系数,可进一步分解为 a=rp,其中为乙方的射击率或射度 p为命中率同理b=rp因此5式为 b (5) 这说明:初始兵力之比以平方关系影响战争的结果 因此此模型叫做平方律模型
同时,我们考虑 0, (5) 2 0 0 a b x y k 若 则 这说明:初始兵力之比以平方关系影响战争的结果. 因此此模型叫做平方律模型. 进一步分析a,b. a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤 率,也可称作战斗有效系数,可进一步分解为 为命中率同 理 因 此 式 为 其 中 为乙方的射击率或射击速 度 ; , . (5) , , y x x y y y p b r p a r p r = = = (5) , 2 0 0 y y x x r p r p a b x y
例1 如若x(0)=100y(0)=50,%=1(即装备性能等相同, 问结局如何? 解:由(4)式得 y2-x2=k/a→y()2-x()2=-7500 当v(t)=0时,乙方败此时x()2=7500,则 x(t)≈87 即最后甲方伤山3人还剩7人;乙方50人全伤亡
? (0) 100, (0) 50, 1( ), 问结局如何 如 若 = = = 即装备性能等相同 b a x y 例1. / ( ) ( ) 7500. 2 2 2 2 y − x = k a y t − x t = − 当y(t) = 0时,乙方败,此 时x(t) 2 = 7500,则 解:由(4)式得 即最后甲方伤亡13人,还剩87人;乙方50人全伤亡. x(t) 87
3游击战争模型:(双方都用游击部队作战) 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽 区域内活动乙方士兵不是向甲方士兵开火而是向这 个隐蔽区域射击这是甲方战斗减员率不仅与乙方兵 力有关而且随着甲方士兵的增加而增加则可设 f(,y)=cey 且乙方战斗有效系数c可表示为: 其中;为射击率P为命中率满足 次射击的有效面稠 甲方活动的面积 类似g(x,y)=4xy,且d=rP=rsS
3.游击战争模型: (双方都用游击部队作战) 甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽 区域内活动,乙方士兵不是向甲方士兵开火,而是向这 个隐蔽区域射击.这是甲方战斗减员率不仅与乙方兵 力有关,而且随着甲方士兵的增加而增加.则可设 f (x, y) = cxy, 且乙方战斗有效系数c可表示为: . x ry y y y S S P r P 甲方活动的面积 一次射击的有效面积 其 中 为射击率 为命中率满 足 = , , ( , ) , . y rx x x x S S 类似 g x y = dxy 且d = r P = r x ry y y y S S c = r P = r
从而模型为: dx =-cxy-a+u(t) dt dxy-的y+v(t) (6) dt x(0)=x0,y(0)=y 忽略αx,v,l,v,解之得:q-dx=m=qyo-ax 当m>0时乙方胜;当m=0时战平;当m<0时甲方胜 乙方胜的条件可表为: 下、 y yy 即双方兵力比以线性关系影响战争结局称此模型为 线性律模型
从而,模型为: (6) = = = − − + = − − + 0 0 (0) , (0) ( ) ( ) x x y y dxy y v t dt dy cxy x u t dt dx , , , , . 0 dx0 忽 略x y u v 解之得: cy − dx = m = cy − 当m>0时乙方胜;当m=0时战平;当m<0时甲方胜. 乙方胜的条件可表为: , 0 0 y ry y x rx x r S S r S S c d x y = 即双方兵力比以线性关系影响战争结局.称此模型为 线性律模型
4混合战争模型 (甲方为游击部队乙方为正规部队) 模型为 -cry b dt x(O=Xo,y(o)=y 其轨线族为:cgy2-2bx=n=cyvo 2_2bx0° 当m>0时乙方胜;当n<0时甲方胜;当n=0时双方平 乙方胜的条件为 2 2r s 0 0
4.混合战争模型 (甲方为游击部队,乙方为正规部队) (7) = = = − = − 0 0 (0) , (0) , , x x y y bx dt dy cxy dt dx : 2 2 . 0 2 0 2 其轨线族为 cy − bx = n = cy − bx 当n>0时乙方胜; 乙方胜的条件为: . 2 0 2 0 0 r S x r P S x y y ry x x x 模型为 当n<0时甲方胜; 当n=0时双方平