差分方程模型
差分方程模型
市场经济中的蛛网模型 自由贸易市场中常见的现象我们时常听到,今年的 苹果陕西)大丰收按说农民应该很高兴但是由于价 格很低农民反而赔钱于是很多农户砍了苹果树转 而经营其它农副业类似的现象还发生在很多农副业 的产品,如鸡生猪桔子等消费品上其大致规律是: 段时间的上市量远多于需求量,引起价格下降于是 物贱伤农,生产者发现养殖赔钱于是转而经营其他 农副业过了一段时间后市场上供应量大减于是因 为供不应求导致价格上涨生产者又看到养殖有钱可 赚又重操旧业这样过一段时间后又会出现供大于 求的局面如此反复循环 本节我们来研究这一现象研究它的不同表现形式
市场经济中的蛛网模型 自由贸易市场中常见的现象:我们时常听到,今年的 苹果(陕西)大丰收,按说农民应该很高兴,但是由于价 格很低,农民反而赔钱,于是很多农户砍了苹果树,转 而经营其它农副业,类似的现象还发生在很多农副业 的产品,如鸡,生猪,桔子等消费品上.其大致规律是:一 段时间的上市量远多于需求量,引起价格下降,于是 物贱伤农,生产者发现养殖赔钱,于是转而经营其他 农副业.过了一段时间后,市场上供应量大减,于是因 为供不应求导致价格上涨.生产者又看到养殖有钱可 赚,又重操旧业,这样过一段时间后又会出现供大于 求的局面.如此反复循环. 本节我们来研究这一现象,研究它的不同表现形式
蛛网模型 下面我们来考察完全市场经济条件下的上述现象我 们将时间离散化记第时段商品的数量为xk,价格为y, k=1,2,这里一个时段是指这种商品的一个生产周 期,比如蔬菜、水果是一个种植周期,肉类商品是牲畜、 禽类的饲养周期 设同一时段该商品的价格y取决于其数量x2设其关系为 Dk=f(k) (1)式称为需求函数它反映的是消费者对该商品的 需求关系易知函数f是单调减少的
蛛网模型 下面我们来考察完全市场经济条件下的上述现象.我 们将时间离散化.记第k时段商品的数量为xk ,价格为yk , k=1,2,… .这里一个时段是指这种商品的一个生产周 期,比如蔬菜、水果是一个种植周期,肉类商品是牲畜、 禽类的饲养周期. 设同一时段该商品的价格yk取决于其数量xk ,设其关系为 ( ) (1) k k y = f x (1)式称为需求函数,它反映的是消费者对该商品的 需求关系.易知,函数f 是单调减少的
我们知道下一时段的商品的供应量x是由上一时段 价格决定的设其关系式为 xk+=h(y)或vk=g(x+) 显然函数h是单调增加的;故其反函数存在这里函数g 是h的反函数这样,函数g也是单调增加的 图解商品供应量与价 格的变化(若g的图像 陡些) y2 y3 Px)P是平衡点 结论:平衡点 P是稳定的
我们知道下一时段的商品的供应量xk+1是由上一时段 价格yk决定的.设其关系式为 ( ) ( ) (2) k+1 = k k = k+1 x h y 或y g x 显然,函数h是单调增加的;故其反函数存在,这里函数g 是h的反函数.这样,函数g也是单调增加的. x y ∙ P0 (x0 ,y0 ) x3 x1 x2 f g 图解商品供应量与价 格的变化(若g的图像 陡些) y1 y3 y2 结论:平衡点 P0是稳定的. P0是平衡点
若/的图像陡些 经济学中的 蛛网模型 y 结论:P是不稳定的平衡点
若f 的图像陡些. x y ∙ P0 (x0 ,y0 ) f g y1 结论: P0是不稳定的平衡点. 经济学中的 蛛网模型
实际上需求曲线/和供应曲线g的具体形式通常是 根据根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计 资料得到的一般来说,∫取决于消费者对这种商品的 需要程度和他们的消费水平,g则与生产者的生产能 力、经营水平等因素有关比如:当消费者收入增加时, ∫会向上移动;当生产能力提高时,g将向右移动 旦/和g的函数关系即需求曲线和供应曲线确 定下来后我们完全能够象上面的图解法一样确 定平衡点的稳定性记它们在平衡点处的斜率的 绝对值分别为K和K2则 KK时平衡点P是不稳定的
实际上,需求曲线 f 和供应曲线 g 的具体形式通常是 根据根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计 资料得到的.一般来说, f 取决于消费者对这种商品的 需要程度和他们的消费水平, g 则与生产者的生产能 力、经营水平等因素有关.比如:当消费者收入增加时, f 会向上移动;当生产能力提高时, g 将向右移动. 一旦 f 和 g 的函数关系即需求曲线和供应曲线确 定下来后,我们完全能够象上面的图解法一样确 定平衡点的稳定性.记它们在平衡点处的斜率的 绝对值分别为Kf 和Kg .则 , . , ; 0 0 时 平衡点 是不稳定的 时 平衡点 是稳定的 K K P K K P f g f g
差分方程模型 在平衡点P附近我们用直线来近似表示这两条曲线时, f≈y-y=f(x0)x-x0)或y-y0=-a(x-x0) g≈y-yo=g(x0)x-x0)减或B(y-y0)=(x-x0) 则(1)式和(2)式分别变为: 0 =-C(x k x 0 Xk+-xoB( -)oxXx+1-xo=-aB(k-xo) Dk=f(xk) (1) k+1 h(yk)或yh=g(x+1)(2)
差分方程模型 在平衡点P0附近我们用直线来近似表示这两条曲线时, 则(1)式和(2)式分别变为: : ( )( ) ( ) ( ) : ( )( ); ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g y y g x x x y y x x f y y f x x x y y x x − = − − = − − = − − = − − 或 或 ( ) (1) k k y = f x ( ) ( ) (2) k+1 = k k = k+1 x h y 或y g x ( ) 0 0 y y x x k − = − k − ( ) 1 0 0 x x y y k+ − = k − ( ) 1 0 0 x x x x k+ − = − k −
+1-x0=-a/(xk-x0) (3)式就是一阶常系数差分方程,x是其平衡点我们可 以通过递推求解(3式得到 xk+1-x0=(-c)(x1-x0) 不难看出当0x 而当aB>时当k→>∞时,x不趋于x0 且振幅无限增大 模型解释先考察α,β的含义:由导数的意义得到 a=f(o), B=1/g(ro)=h(o 再来分析上面的结论
( ) (3) 1 0 0 x x x x k+ − = − k − (3)式就是一阶常系数差分方程, x0是其平衡点.我们可 以通过递推求解(3)式得到 ( ) ( ) 1 0 1 0 x x x x k k+ − = − − , 0 1 , , . 0 k x x 不难看出当 时当 → 时 k → 1 , , . 0 k x x 而 当 时当 → 时 k 不趋于 模型解释 先考察α,β的含义:由导数的意义得到. 再来分析上面的结论. ( ), 1/ ( ) ( ) 0 0 0 = − f x = g x = h y 且振幅无限增大
经济不稳定时的干预方法 当经济趋向于不稳定时政府通常有两种方法来干预 目的是使得经济稳定的条件成立 是使α尽可能的小极端情形是a=0,这时无论房多大, a6<1总成立因此经济可保持稳定这种办法相当于政 府控制物价,无论商品多少,物价保持不变 是使β尽可能的小极端情形是β=0,这时无论a多大, B<1总成立因此经济也可保持稳定这种办法相当于 政府控制市场上的商品数量:当供应少于需求时,政府 从外地收购或调拨该种商品投入市场;反之,政府则从 市场上收购该种商品的过剩部分;总之来保持市场上 的商品数量不变
经济不稳定时的干预方法 当经济趋向于不稳定时政府通常有两种方法来干预. 目的是使得经济稳定的条件成立. 一是使α尽可能的小.极端情形是α=0,这时,无论β多大, αβ <1总成立.因此经济可保持稳定.这种办法相当于政 府控制物价,无论商品多少,物价保持不变. 二是使β尽可能的小.极端情形是β =0,这时,无论α多大, αβ <1总成立.因此经济也可保持稳定.这种办法相当于 政府控制市场上的商品数量:当供应少于需求时,政府 从外地收购或调拨该种商品投入市场;反之,政府则从 市场上收购该种商品的过剩部分;总之,来保持市场上 的商品数量不变
模型的推广 如果生产者的管理水平和素质更高些,他们在决定商 品生产的数量xk时不仅仅是根据前一期的价格而 是根据前两个时期的价格yk和yk1比如采用二者的平 均值曲线∫,g假定不变这样(2)式变为 h+1=h Vk + Vk_ (2) 在平衡点附近的近似为 yk t yk k+1 ( 2 (1)式的近似还是:yk-y0=-(xk-x0)
模型的推广 如果生产者的管理水平和素质更高些,他们在决定商 品生产的数量xk+1时,不仅仅是根据前一期的价格,而 是根据前两个时期的价格yk和yk-1 .比如采用二者的平 均值.曲线 f , g 假定不变.这样(2)式变为 (2) + = − + ) 2 ( 1 1 k k k y y x h 在平衡点附近的近似为 ) 2 ( 0 1 1 0 y y y x x k k k − + − = − + ( ) 0 0 y y x x (1)式的近似还是: k − = − k −