交通流模型
交通流模型
1交通模型 考察在高速公路上行驶的交通车辆的流动问题目的研究何 时发生交通堵塞及如何防止的问题设x轴表示此公路,x轴 正方向车辆的前进方向 先考虑连续模型设u(t,x)表示时刻t的交通车辆按x方向分布 的痉度,即在时刻位于区间段x,x+dx中的车辆数为 u(t,x)dx再设q(tx)为车辆通过x点的流通率即在时段 Ittd内通过点x的车辆流量为取q(t,x)dt 我们考察时间段ttdt,位于xx+dx内的车辆变化情形由 车辆数守恒,得到 u(t +dt, x) dx-ut, xdx=gt, x)dt-qt, x+dx)dt 假定连续可微我们得到 a
1.交通模型 考察在高速公路上行驶的交通车辆的流动问题.目的研究何 时发生交通堵塞及如何防止的问题.设x轴表示此公路,x轴 正方向车辆的前进方向. 先考虑连续模型.设u(t,x)表示时刻t的交通车辆按x方向分布 的密度,即在时刻t,位于区间段[x,x+dx]中的车辆数为 u(t,x)dx.再设 q(t,x) 为车辆通过x点的流通率,即在时段 [t,t+dt]内通过点x的车辆流量为取 q(t,x)dt. 我们考察时间段[t,t+dt],位于[x,x+dx]内的车辆变化情形.由 车辆数守恒,得到 u(t + dt, x)dx − u(t, x)dx = q(t, x)dt − q(t, x + dx)dt 0 (1) , , = + x q t u 假 定u连 续可 微 我们得到
这个方程还需要进一步细化车辆流q(x)有其自身的特点 事实上许多问题都满足方程(1):如河流中的污染物的浓度 分布和流动;维问题下的热传导问题此时q=ku要想较准 确刻画这个问题我们可以通过一些调查得到 q 右图是根据美国公路上的车辆情 况统计而得到的曲线,其中u的单 位是车辆数哩,q的单位为车辆数 小时 (1)u值较小时,随着u的增加,q也增加; m ()u值较大时(>um),随着u的增加,q反而减少 具体说,um=75,此时q=1500:而当u=225时,q=0,即出现交通堵塞 从图上可以看出我们可以用抛物线来拟合设q=uu(1-u/)其中 是汽车的自由速度即整个公路上只有一辆汽车时的速度由于 u=0或者u=u时q=0故m=u2时达到最大值q=urm/2,因此 我们得到结构方程
这个方程还需要进一步细化,车辆流q(t,x) 有其自身的特点. 事实上,许多问题都满足方程(1):如河流中的污染物的浓度 分布和流动;一维问题下的热传导问题,此时q=-kut .要想较准 确刻画这个问题,我们可以通过一些调查得到. (1) u值较小时,随着u的增加,q也增加; (2) u值较大时(u> um),随着u的增加,q反而减少. 右图是根据美国公路上的车辆情 况统计而得到的曲线,其中u的单 位是车辆数/哩,q的单位为车辆数/ 小时. 具体说, um =75, 此时,q=1500;而当u=225时,q=0,即出现交通堵塞. u q um uj • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • 从图上可以看出,我们可以用抛物线来拟合.设q=ufu(1-u/uj ),其中 是汽车的自由速度,即整个公路上只有一辆汽车时的速度,由于 u=0或者u= uj时q=0,故um = uj /2时q达到最大值 q=uf um /2,因此 我们得到结构方程
cq=q()=-a(-b) 其中a=al,b=l于是我们得到交通模型 +(C-l 0 这里c=/2l=2l 做未知函数的变换=C-l则模型可化为 ah ah th 0 at ax 初始条件为(t=0,x)=h1(x)=C-lm0(x)(0≤n(x)≤) 我们可以用特征线法来解此方程结论是: 当h为单调不减函数时解整体存在; 否则,必定会在某个时刻发生追赶现象
, 2 / . ( ) 0, / , . ( ) ( ), f f j f j j c u l u u xu c lu tu a u u b u q q u a u u b = = = + − = = = = − − 这 里 其 中 于是我们得到交通模型为 (2) ( 0, ) ( ) ( )(0 ( ) ). 0, , 0 0 0 uj h t x h x c lu x u x xh h th h c lu = = = − = + = − 初始条件为 做未知函数的变换 则模型可化为 我们可以用特征线法来解此方程 .结论是 : 当 h 0为单调不减函数时 ,解整体存在 ; 否则 ,必定会在某个时刻 ,发生追赶现象 . t x
而当解光滑性不够时,我们可以用积分形式代替微分形式 任取[t1t2及x,x2由车辆数守恒我们得到 ∫(2x)d-∫(,x)d女=∫,x)-∫(x)(3) 上式表明对(t,x)平面上的任一矩形闭路,有 udx-gdt=0 从而对上半平面的任一闭路r,有 udx-gdt=o 当u,q具有连续偏导数时由格林公式我们可以从(4)得到(1) 若u(从而q(u)也)在(x)平面上有间断设解在曲线x=x(t两侧 具有连续偏导数,而在此曲线上有第一类间断设在两侧的极 限值分别为u,u取下图所示的闭路由(4)得到
而当解光滑性不够时,我们可以用积分形式代替微分形式. 任取[t1 ,t2 ]及[x1 ,x2 ],由车辆数守恒我们得到 (3) − = − 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 1 2 t t t t x x x x u t x dx u t x dx q t x dt q t x dt (4) − = − = 0. , , 0. , ( , ) , udx qdt udx qdt t x 从 而 对上半平面的任一闭路闭 路 有 上式表明对 平面上的任一矩形闭路 有 当u,q 具有连续偏导数时,由格林公式,我们可以从(4)得到(1). 若u(从而q(u)也)在(t,x)平面上有间断,设解在曲线x=x(t)两侧 具有连续偏导数,而在此曲线上有第一类间断,设在两侧的极 限值分别为u- ,u+ .取下图所示的闭路,由(4)得到
x=x() E(4(1+(t1)-l4(t2)-(t2) +∫(a4-)-q(u)+q(l.)t=0 x=x() =x(t)+E 令E→0.,我们得到 (l4-l.) at q(u)+alu dt=0 记=l4-l,[q()=q(u)-q(),则我们得到 [q(u)dt=0, 由积分区间的任意惟我们得到间断连续性条 -[q(m)=0或“=【q()9(n,)-9() (5)
( ) ( ) ( ) 0, ( ( ) ( ) ( ) ( )) 2 1 1 1 2 2 + − − + = + − − + − + − + − + − q u q u dt dt dx u u u t u t u t u t t t x = x(t) + x = x(t) − 1 t 2 t x = x(t) (5) + − + − + − + − + − + − − − − = = = − = = − = − − − + = → u u q u q u u q u dt d x q u dt d x u q u dt dt d x u u u u q u q u q u q u q u dt dt d x u u t t t t ( ) ( ) [ ] [ ( )] [ ] [ ( )] 0. , [ ] [ ( )] 0, [ ] ,[ ( )] ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 0, 0, 2 1 2 1 或 由积分区间的任意性我们得到间断连续性条件 记 则我们得到 令 我们得到
2红绿灯下的交通流 设交通信号灯设在x=0处若原来公路上的交通处于稳定状态 记初始密度f(x)为常数某时刻突然红灯亮于是交通灯前面 (x>0)的车辆继续前行交通灯后面(x<0的车辆则一辆一辆地 堵塞起来绿灯亮后后面的车辆要多长时间才能赶上前面的 车辆,车辆堵塞何时能够消除.下面我们想用车辆密度函数来 刻画这一过程 红绿灯的安排必然引起密度函数u(,x)的间断但它也应该满 足(5)式 设t=0+交通灯由绿变红=补时刻由绿变红下面我们讨论 (1)t≤0时设(t,x)=f(x)=n, 不妨设<,/2这种 交通流称为稀疏流
2.红绿灯下的交通流 设交通信号灯设在x=0处.若原来公路上的交通处于稳定状态, 记初始密度f(x)为常数.某时刻突然红灯亮,于是交通灯前面 (x>0)的车辆继续前行,交通灯后面(x<0)的车辆则一辆一辆地 堵塞起来.绿灯亮后,后面的车辆要多长时间才能赶上前面的 车辆,车辆堵塞何时能够消除.下面我们想用车辆密度函数来 刻画这一过程. 红绿灯的安排必然引起密度函数u(t,x)的间断,但它也应该满 足(5)式. 设 = 0 交通灯由绿变红, =时刻由绿变红.下面我们讨论. + t t . / 2. (1) 0 , ( , ) ( ) , 0 0 交通流称为稀疏流 不妨设 这 种 时 设 j u u t u t x f x u = = − 0 u u x
cm(2)0≤10的车辆继续前行也会 导致密度间断=0和=l4 对于抛物线型的结构间断条件5为 xs,(t)x(t) -a(u4+u)+ab=q(u4)+q(u)其中q(u) u+-u 对x=x(t) q(u)+qo 其解为,(t) 对x=x(1) (l4)+q(u) xn(0)=0 其解为xn(t) 匕较二者的速度快慢
0 0 ; 0 , (2) 0 , . , 0 u u u x x t x j = = 导致密度间断 和 的车辆继续前行也会 的车辆开始阻塞导致最大密度 红灯亮此 时 处 . 2 1 ( ) 2 1 ( ). 2 1 ( ) 2 1 ( ) , (5) f j f u u u u a u u a b q u q u q u dt dx = − + + − + = + + − 其 中 = − + 对于抛物线型的结构方程 间断条件 为 ( ) , (0) 0. 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ): 0 = = + + − = − sl = j f sl sl x u u u q u q u dt dx t 对x x t ( ) . 0 t u u u x t j f 其解为 sl = − , (0) 0. ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ): 0 = − = = + + − = sr j f j sr sr x u u u u q u q u dt dx t 对x x t . ( ) ( ) 0 t u u u u x t j f j sr − 其解为 = 比较二者的速度快慢. x (t) sl x (t) sr uj 0 t
(3)t=τ时绿灯亮被阻的车辆开始前行图与上面同 (4)t>τ,我们用x1(t)阻塞车队行驶时最前面的车辆位置用 x2(t阻塞车队行驶时最后面的车辆位置即由uT f(x)={0,0x 或 X<x 利用特征线法 可以求得 x()=l,=l/(-z) (t)=-1(t- 当x2(t)<x<x1(t时,(t,x)=-(1 2 u(t-T
(3) t=τ时,绿灯亮,被阻的车辆开始前行.图与上面同. (4) t>τ,我们用x1 (t)阻塞车队行驶时最前面的车辆位置,用 x2 (t)阻塞车队行驶时最后面的车辆位置,即由u<uj变为 u=uj的那点的位置.若令t′=t- τ, t′ =0时的初始密度 = sr sl sr j sl u x x x x x x u x x f x 或 , 0, 0 , , 0, ( ) 0 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), 2 1 = − − = = − = x t u t x t u t u t q u dt dx f f f 可以求得 利用特征线法 ). ( ) (1 2 ( ) ( ) , ( , ) 2 1 − = − u t u x x t x x t u t x f 当 时 j
fN(s)=时阻塞消知于x(Ox(O向前向后的速度都是 x0)x(移动的速度分别是“,()由于1<n/2, 最终:x2(t)可以赶上xn() 记此时刻为可求得 (6)t=t时追上车队当x1(t)赶上xn(t)时, 阻塞车队最前面的那辆追上 远离的车队记此时刻为则可算出 t=t
. . : ( ) ( ), . / 2, ( ) ( ), ( ) , (5) . ( ), ( ) , , 0 2 0 0 0 1 2 u u u t t x t x t u u u u u u u u u x t x t t t x t x t u j j d d sl j j f j j f sl sr d f − = − = 记此时刻为 可求得 最 终 可以赶上 移动的速度分别是 由 于 时阻塞消失由 于 向 前向后的速度都是 d t = t . . . (6) . ( ) ( ) , 0 1 u u t t t t x t x t j u u u sr = = 远离的车队记此时刻为 则可算出 阻塞车队最前面的那辆车追上 时追上车队当 赶 上 时 u t = t