差分方程模型 差分形式的阻滞增长模型
差分方程模型 ----- 差分形式的阻滞增长模型
前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型: x(t=rx(l x(t)意义:单位时间内的 人口数量的变化增量) 此模型的意义是:在小时刻单位时间内的人口数量的变 化量仅仅与此时的人口数量x有关等于右边的值)其 中的表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人 口数 它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增 长规律如:种群数量的增长,传染病的传播,耐用消费 品在有限市场上的销售等
前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型: ( ) (1 ) N x x t = rx − 它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增 长规律,如:种群数量的增长,传染病的传播,耐用消费 品在有限市场上的销售等. ( ) ( ) : 人口数量的变化增 量 x t 意 义 单位时间内的 此模型的意义是:在t时刻单位时间内的人口数量的变 化量仅仅与此时的人口数量x有关(等于右边的值),其 中的r表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人 口数
X(1)=x(1-x) 有时我们将时间离散化来研究可能方便些例如有些 生物(比如鱼)每年在固定的时间繁殖我们用繁殖周期 作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间 处理应该更好些我们类似认为 经过单位时间,即—个繁殖問期的种群数量的增长量 仅仅与前一个时期的种群数量有关,且有类似于上面的 表达式 于是模型为 yk+1-yk=r(1-),k=0,,2,…(1)
有时我们将时间离散化来研究可能方便些.例如:有些 生物(比如鱼)每年在固定的时间繁殖,我们用繁殖周期 作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间 处理应该更好些.我们类似认为: 经过 单位时间，即一个繁殖周期的种群数量的增长量 仅仅与前一个时期的种群数量有关,且有类似于上面的 表达式. (1 ), 0,1,2, (1) +1 − = − k = N y y y ry k k k k 于是模型为 ( ) (1 ) N x x t = rx −
(1-k=0,1,2 即 yk+1=(r+1)yk(1 ),k=0,1,2, (r+1)N 令x=记b=+1则上式两边乘以)为 (r+1)N (r+1)N xk+i= bxk(l-xk) (2) 这是一个一阶非线性差分方程对于给定的初值我 们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出 一些x这是在计算机出现以后的一个新的特点 但是我们更关心的是当时间趋于无穷时即趋于 无穷时,x的极限如何
(1 ), 0,1,2, (1) +1 − = − k = N y y y ry k k k k 即 = (1) + + = + − ), 0,1,2, ( 1) 1 ( 1) (1 k r N ry y r y k k k 令 记 则上式 两边乘以 )为 ( 1) . 1, ( ( 1) r N r b r r N ry x k k + = + + = (1 ) (2) k 1 k k x = bx − x + 这是一个一阶非线性差分方程.对于给定的初值,我 们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出 一些xk .这是在计算机出现以后的一个新的特点. 但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即k趋于 无穷时, xk的极限如何
数值计算 xk+1=bx2(1-xk)(2) blk 0 2 3 5 6 8 1202.192186.182.179.176174.172.171 80.2.288.369.419.438.443.444.4444.4444 2403.504.600.576586.582.584.5831.5834 2.80.2448.692.597.67376155.66266260.6555 3203.672705.6655.7123.65587223.64187357 bk91011121314151617 12.170.1691685.168.16771675.167316721671 归纳看到的现象 1.8.4444444444444444444444414444 24.5833.583355833583358335833568335335833 2.8.6323.65106362.6481.6386.6462|.6402.6450.6411 32.62227522.5965770256647859538479535210
数值计算 b\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.2 0.2 .192 .186 .182 .179 .176 .174 .172 .171 1.8 0.2 .288 .369 .419 .438 .443 .444 .4444 .4444 2.4 0.3 .504 .600 .576 .586 .582 .584 .5831 .5834 2.8 0.2 .448 .692 .597 .6737 .6155 .6626 .6260 .6555 3.2 0.3 .672 .705 .6655 .7123 .6558 .7223 .6418 .7357 (1 ) (2) k 1 k k x = bx − x + b\k 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1.2 .170 .169 .1685 .168 .1677 .1675 .1673 .1672 .1671 1.8 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 .4444 2.4 .5833 .58335 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 .58333 2.8 .6323 .6510 .6362 .6481 .6386 .6462 .6402 .6450 .6411 3.2 .6222 .7522 .5965 .7702 .5664 .7859 .5384 .7953 .5210 归 纳 看 到 的 现 象
平衡点及其稳定性 k+1=bxk(1-xk) 我们很容易求得差分方程2)的平衡点为0和b-1)b它 们分别对应于差分方程(1)的平衡点0和N 我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开有 x=0处:x+=bxk 注意到b=1+产1,平衡点0是不稳定的 X x*=-b(x-x*)2+(2-b)x-x*) b k+1 略去高阶项得x1-2x米=(2-b)(xk-x*)
平衡点及其稳定性 (1 ) (2) k 1 k k x = bx − x + 我们很容易求得差分方程(2)的平衡点为0和(b-1)/b.它 们分别对应于差分方程(1)的平衡点0和N. 我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开,有 k bxk x = 0处: x +1 = 注意到b=1+r>1,平衡点0是不稳定的. : * ( *) (2 )( *) 1 * 1 2 1 x x b x x b x x b x = − k+ − = − k − + − k − 略去高阶项得 * (2 )( *) 1 x x b x x k+ − = − k −
因此当2-b时平衡点x*=(b-1)b是稳定的2-b>1即 b>3时,平衡点x*是不稳定的 注:由于b=r+1,结论表明只有2时=N才是差分 方程(1)的平衡点;这与微分方程不同微分方程中 y=N是稳定的平衡点(没有条件) 事情至此好像结束了当然,我们还可以进一步判断稳定 的平衡点是否为全局稳定的但是,数值计算表明对于 有些b值,平衡点不稳定但是x好象在某几个值附近循 环摆动 我们只需要用计算器多送代计 算几次即可
因此当|2-b|1即 b>3时,平衡点x*是不稳定的. 注:由于b=r+1,结论表明只有r<2时y*=N才是差分 方程(1)的平衡点;这与微分方程不同,微分方程中 y=N是稳定的平衡点(没有条件). 事情至此好像结束了.当然,我们还可以进一步判断稳定 的平衡点是否为全局稳定的.但是,数值计算表明,对于 有些b值,平衡点不稳定,但是xk好象在某几个值附近循 环摆动. 我们只需要用计算器多迭代计 算几次即可
倍周期收敛 当b3时平衡点x是不稳定的如果序列x存在两个 收敛的子列我们就称之为2倍周期收敛 一般地我们记(2)式为 x k+=f(rk) xk+2=f(x+)=f(xk)=2(xk)(4) 所谓2倍周期收敛的点就是(4)式的平衡点即满足 x=f2() (S) k+1 bxk (-xk)
倍周期收敛 当b3时,平衡点x*是不稳定的.如果序列xk存在两个 收敛的子列我们就称之为2倍周期收敛. 我们称之为单周期收敛. (1 ) (2) k 1 k k x = bx − x + 一般地,我们记(2)式为 ( ) (3) k 1 k x = f x + ( ) [ ( )] : ( ) (4) k 2 k 1 k 2 k x = f x = f f x = f x + + 所谓2倍周期收敛的点就是(4)式的平衡点:即满足 ( ) (5) 2 x = f x
x=f2() x1=f(x2),x2=f(x1) (5) 本例x=ff(x)=bbx(1-x1-bx(1-x) (2)的平衡点为0和(b-1)b仍然满足上式现在我们求的 是另外两个根: (b+1)±√(b-3)b+1) 26 不难验证:b>3时,有0<x<x*<x2<1 由于/2(x)=b2[1-2(1+b2)x+6b2x2-4b2x3 或f2={bf(x)-f2(x) b(x)-2f(x)=b2(1-2x)1-2f(x)
本例 ( ) (5) 2 x = f x = ( ), = ( ) (5) * 1 * 2 * 2 * 1 x f x x f x x = f [ f (x)] = b bx(1− x)[1− bx(1− x)] (2)的平衡点为0和(b-1)/b.仍然满足上式,现在我们求的 是另外两个根: b b b b x 2 ( +1) ( − 3)( +1) = : 3 , 0 * 1 * 2 * 不难验证 b 时 有 x1 x x ( ) [1 2(1 ) 6 4 ] 2 2 2 2 2 3 2 f x = b − + b x + b x − b x 由 于 或 ( )[1 2 ( )] (1 2 )[1 2 ( )] { [ ( ) ( )]} 2 2 2 bf x f x b x f x f b f x f x = − = − − = −
故 ∴=b(1-2x1)(1-2x2) 2x1, 故这两个平衡点具有相同的稳定性且 f2|.=b2(1-2x1)(1-2x2)=-b2+2b+4 在b>内解不等式-11+√6时,平衡点x12是不稳定的 当3<b<1+√6时,虽然(2)的平衡点x*是不稳定的 但是4平衡点x2是稳定的这表明子列x2以及 x2会收敛到1或x2
故 | (1 2 )(1 2 ) * 2 * 1 2 2 * 1,2 f b x x x = − − 故这两个平衡点具有相同的稳定性.且 | (1 2 )(1 2 ) 2 4 * 2 2 * 1 2 2 * 1,2 = − − = − + + f b x x b b x 3 1 6. 3 1 2 4 1 2 + − − + + b b b b 得 在 内解不等式 结论: 3 1 6 , . * 当 b + 时 平衡点x1,2 是稳定的 1 6 , . * 当b + 时 平衡点x1,2 是不稳定的 . (4) . : 3 1 6 , (2) * , * 2 * 2 1 1 2 * 1,2 x x x x x b x k k 会收敛到 或 但 是 的平衡点 是稳定的这表明 子 列 以 及 当 时 虽 然 的平衡点 是不稳定的 − +