华东交通大学：《数学模型》课程教学资源（PPT讲稿）种群的相互竞争模型

种群的相互竞争模型

种群的相互竞争模型

1.模型建立 当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生 存时我们常用 Logistic模型来描述它的数量的演变 过程,即 x(t)=nx(.r (1) 易知=N是自治系统(1)的稳定的平衡点它表示当时 间道于无穷时x(0)→N 如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它 们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争相互依 存弱肉强食食饵与捕食者),也可能毫无关系前几种 情形我们来一一研究它们最后一种情形不用研究下 面我们种群的相互竞争模型先研究两个种群的相互 竞争模型

1.模型建立 ( ) (1 ) (1) N x x t = rx − 当某个自然的环境中只有一种生物的群体(种群)生 存时,我们常用Logistic模型来描述它的数量的演变 过程,即 易知,x=N是自治系统(1)的稳定的平衡点.它表示当时 间t趋于无穷时,x(t)→N. 如果一个自然环境中存在两个或两个以上的种群,它 们之间的关系大致可分为以下几种:相互竞争,相互依 存,弱肉强食(食饵与捕食者),也可能毫无关系.前几种 情形我们来一一研究它们,最后一种情形不用研究.下 面我们种群的相互竞争模型.先研究两个种群的相互 竞争模型

记:x1(O),x2(分别是甲乙两个种群的数量 r1,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率 1,N2分别是甲乙两个种群的最大容量 模型假设设甲乙两个种群都生活在同一个自然 环境中,其数量变化服从 Logistic舰律. 于是对种群甲我们有x1()=r1x1(1-1) 这里因子-x1N反映由于甲对有限资游消耗导致 的对其本身增长的阻滯乍用x1/N可理解为相对于N1 而言数量为x时供养甲的食物量设食物总量为)

模型假设 设甲乙两个种群都生活在同一个自然 环境中,其数量变化服从Logistic规律. 记: x1 (t), x2 (t)分别是甲乙两个种群的数量 r1 ,r2分别是甲乙两个种群的固有增长率 N1 ,N2分别是甲乙两个种群的最大容量 于是对种群甲我们有 ( ) (1 ) 1 1 1 1 1 N x x t = r x − , ( 1). , / 1 / 1 1 1 1 1 1 而 言 数量为 时供养甲的食物量设食物总量为 的对其本身增长的阻滞作 用 可理解为相对于 这里因子 反映由于甲对有限资源的消耗导致 x x N N − x N

于是对种群甲我们有文,()=1x(1- 这里因子1-x1/N反映由于甲对有限资游的消耗导致 的对其本身增长的阻滞乍用x1/N可理解为相对于N 而言数量为x时供养甲的食物量设食物总量为) 当两个种群在同一自然不境中生存时考虑到 乙消耗同一资源对甲的曾长的影响我们在因子 1-x1/N中再减去一项该项与种群乙的数量2 (相对于N而言成正比于是对种群甲有 x1()=1x1(1 2)(2)

相对于 而 言 成正比 于是对种群甲有 中再减去一项该项与种群乙的数量 乙消耗同一资源对甲的增长的影响 我们在因子 当两个种群在同一自然环境中生存时考虑到 ( ) , 1 / , , , 2 1 1 2 N − x N x ( ) (1 ) (2) 2 2 1 1 1 1 1 1 N x N x x t = r x − − 于是对种群甲我们有 ( ) (1 ) 1 1 1 1 1 N x x t = r x − , ( 1). , / 1 / 1 1 1 1 1 1 而 言 数量为 时供养甲的食物量设食物总量为 的对其本身增长的阻滞作 用 可理解为相对于 这里因子 反映由于甲对有限资源的消耗导致 x x N N − x N

x1()=1x1(1 2)(2) 这里o1的意义是单位数量的乙(相对于N2而言)消耗 的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1)消耗 的供养甲的食物量的σ倍 类似我们有x2()=n2x2(1-2 )(3) 于是我们得 x1(t)=r1x1(1 到模型 x2()=h2x2(1-6N1N2 这里σ1,σ2一般是相互独立的在某些特殊的情形下 我们有G12=1

这里σ1的意义是:单位数量的乙(相对于N2而言)消耗 的供养甲的食物量为单位数量的甲(相对于N1 )消耗 的供养甲的食物量的σ1倍. 类似,我们有 ( ) (1 ) (3) 2 2 1 1 2 2 2 2 N x N x x t = r x − − 于是我们得 到模型 (4) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1        = − − = − − N x N x x t r x N x N x x t r x     这里σ1 ,σ2一般是相互独立的.在某些特殊的情形下, 我们有σ1σ2 =1. ( ) (1 ) (2) 2 2 1 1 1 1 1 1 N x N x x t = r x − −

当σσ2≠时,我们令 f(x1,x2)=r1x1(1 2)=0 (5) g(x1,x2)=r2x2(1-2 2)=0 NN 得4个平衡点:P(N,0,P2(0,N2 e((=)N2(-a2) ),P4(0,0) 1-o,O, 1-0102 其中的第三个平衡点是在σ1,21的情形 下才会得到

(5) ( , ) (1 ) 0 ( , ) (1 ) 0 1 , 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2        = − − = = − − =  N x N x g x x r x N x N x f x x r x   当  时 我们令 ), (0,0). 1 (1 ) , 1 (1 ) ( 4 : ( ,0), (0, ), 4 1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 1 2 2 P N N P P N P N       − − − − 得 个平衡点 其中的第三个平衡点是在σ1 ,σ2 1的情形 下才会得到

P1(N1,0),P2(0,N2),P3 N1(1-a1)N2(1-σ2 P4(0,0) 按判断平点的稳定性的方法我们先看阵 Ss, i ri A 2 2 2. 10 2(1 因此,p=-(f+g,),q=detA|p,i=1,2,3,4 对P(N,0),P=F-r2(1-a2)q=-r2(1-a2) 稳定条件σ2>1.其它平衡点类似处理

), (0,0). 1 (1 ) , 1 (1 ) ( ,0), (0, ), ( 4 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 3 P N N P N P N P       − − − − 按照判断平衡点的稳定性的方法,我们先看矩阵 , ( )| , det A | , 1,2,3,4. ) 2 (1 ) 2 (1 A 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 = − + = =             − − − − − −  =      = p f g q i N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f Pi Pi x x x x x x 因 此     ( ,0), (1 ), (1 ) 1 1 = 1 − 2 − 2 = − 1 2 − 2 对P N p r r q rr 稳定条件 1.  2  其它平衡点类似处理

P1(N1,0),P2(0,N2),P3 N1(1-a1)N2(1-2 ),P4(0,0) 2x r1( A 2. 1 2 NI r2(1 因此,P=-(fx+g,)|,q=deA|p,i=1,2,3,4 N1(1-σ1) 对P,A N,(I r2G2N2(1-a2) f(1-a1)(1-2)

), (0,0). 1 (1 ) , 1 (1 ) ( ,0), (0, ), ( 4 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 3 P N N P N P N P       − − − − , ( )| , det A | , 1,2,3,4. ) 2 (1 ) 2 (1 A 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 = − + = =             − − − − − − = p f g q i N x N x r N x r N x r N x N x r Pi Pi 因 此 x x                 − − − − − − − − − − = 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 ( 1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) ,               r N r N N r r N 对P A 1 2 1 2 1 2 1 (1 )(1 )     − − − = r r q

我们由此得到结论: 平衡点 P q 稳定条件 P1(1,0) z(1-a2)-2(1-2) C2>1 P2(0,N2)(1-a1)+n-n(1-0)1>1 H/(1-)N2(-a2)(1-a1)+h2(1-2)1(1-a1)(1-2)σ1<1,可<1 1-σ1a21-12 1-1o2 P4(0, (+n2) 不稳定

我们由此得到结论: 不稳定 平衡点 p q 稳定条件 ( ,0) P1 N1 (0, ) P2 N2 ) 1 (1 ) , 1 (1 ) ( 1 2 2 2 1 2 1 1 3       − − − N − N P (0,0) P4 (1 ) 1 − 2 − 2 r r (1 ) − 1 2 − 2 rr (1 ) − 1 2 − 1 r r 1 1 2 − r (1− )+ r 1  1, 2  1  1  1 1 2 1 1 2 2 1 (1 ) (1 )     − r − + r − 1 2 1 2 1 2 1 (1 )(1 )     − r r − − ( ) 1 2 − r + r 1 2 rr  2  1

注意到平衡点的定义我们可以看出它是一个局部的 性质对于非线性方程(4所描述的种群竞争我们更 关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何平 衡点都是稳定的这需要在上面得到的局部稳定性的 基础上辅之以相轨线分析 在代数方程组 9(x1,x2)=1、x1-、N2 (5)中,记 y(x1,x2)=1-2N1N2 2 x1(t)=r1x1(1 )=x(1,x2) 注意到: rx, (1-0,1-2=rx,y(x 152 下面我们根据G1,o2的不同取值范围直线=0,y=0 的相对位置讨论如下:

注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的 性质.对于非线性方程(4)所描述的种群竞争,我们更 关心的是平衡点的全局稳定性,即不论初值如何,平 衡点都是稳定的.这需要在上面得到的局部稳定性的 基础上辅之以相轨线分析. 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( , ) 1 ( , ) 1 N x N x x x N x N x x x = − − = − −     ( ) (1 ) ( , ) ( ) (1 ) ( , ) : 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1        = − − = = − − = r x x x N x N x x t r x r x x x N x N x x t r x       注意到 下面我们根据σ1 ,σ2 的不同取值范围,直线φ=0, ψ=0 的相对位置,讨论如下: 在代数方程组 （5）中，记