人口模型
人口模型
背景 世界上人口在较快地增长人口总量还在迅速膨胀而且每个 人消耗的资源也在不断增加,地球的环境质量急剧恶化世 界人口发展的几个数据 年 1625183019301960197419871999 人口亿) 5 10 20 40 50 中国人口发展的几个数据: 年 1908193319531964198219902000 人口亿)3.0476.07210.311.31295 认清人口数量的变化规律建立人口模型作出较准确的预报, 是有效控制人口增长的前提
背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界上人口在较快地增长人口总量还在迅速膨胀,而且每个 人消耗的资源也在不断增加,地球的环境质量急剧恶化.世 界人口发展的几个数据: 中国人口发展的几个数据: 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.95 认清人口数量的变化规律,建立人口模型,作出较准确的预报, 是有效控制人口增长的前提
1指数增长模型( Malthus模型) Malthus(1766-1834牧师英国人口学家从英国人口百年资 料得到此模型 1)离散模型 设今年的人口总数为x,年增长率为r,k年后人口为x则 (1+r) 2)连续模型 设时刻t的人口为x(t假定x(t)连续并可导假设人口增长率 为常数;即单位时间内x(t)的增长量等于r乘以x(t于是 dx x,x(O0)=x0 其解为x()=xe 评价资源丰富时的人口模型如美国1790-1900年间的人口 (39-76百万发展就符合此模型,r=0.2743/10年=0.02743/年
1.指数增长模型(Malthus模型) Malthus(1766-1834),牧师,英国人口学家.从英国人口百年资 料得到此模型. 1) 离散模型 设今年的人口总数为x0 ,年增长率为r,k年后人口为xk ,则 (1 ) . 0 k k x = x + r 2) 连续模型 设时刻t的人口为x(t),假定x(t)连续并可导.假设人口增长率 为常数r,即单位时间内x(t)的增长量等于r乘以x(t),于是 , (0) . 0 rx x x dt dx = = ( ) . 0 rt 其解为 x t = x e 评价:资源丰富时的人口模型.如美国1790-1900年间的人口 (3.9-76百万)发展就符合此模型,r=0.2743/10年=0.02743/年
2阻滞增长模型( Logistic模型 人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增 长起着阻滞作用,并且随着人口的增加阻滞作用越来越大 因此人口增长率为人口总数x的单调减少函数通常假设为 r-SX, 即 =r(x)x=(r-x)x,x(0)=x0 称为固有增长率,表示人口很少时的增长率为确定s,引入 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口总量xm称为人 口容量当x=xn时人口不再增长即r(xm)=0于是s=r/xm dt =(/- x(0) 其解为x(1)
2.阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定的数量后,资源、环境等因素对人口的增 长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大. 因此人口增长率为人口总数x的单调减少函数,通常假设为 r-sx,即 ( ) ( ) , (0) . 0 r x x r sx x x x dt dx = = − = 称r为固有增长率,表示人口很少时的增长率.为确定s,引入 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口总量xm,称为人 口容量.当x= xm时,人口不再增长,即r(xm)=0.于是s=r/ xm. (1 ), (0) . 0 x x x x rx dt dx m = − = . 1 ( 1) ( ) 0 m rt m e x x x x t − + − 其解为 =
3人口发展方程模型 上面两个模型没有考虑人口的年龄结构及性别等复杂的因 素特别是年龄结构不同的年龄阶段的人的生育率和死亡率 有着很大的差别另外,即使人口总数一样如果年龄结构不同, 那么它们所面临的许多社会问题会有很大的差别下面我们 先考虑这一因素即我们考虑人口为时间和年龄的函数 引入人口分布函数F(r):表示时刻年龄小于怕的人口数记时 刻的人口总数为N),最高年龄为rn则 F(0,t)=0,F(rn,t)=N(t) 定义人口密度函数为p(r,) OF F(r+△,t)-F(r,t) Or△r+0 △r F(r+dr, t)-F(r, t=p(r, t)dr 于是p(r,t)dh表示时刻年龄在区间r,r+)内的人数
3.人口发展方程模型 上面两个模型没有考虑人口的年龄结构及性别等复杂的因 素.特别是年龄结构,不同的年龄阶段的人的生育率和死亡率 有着很大的差别.另外,即使人口总数一样,如果年龄结构不同, 那么它们所面临的许多社会问题会有很大的差别.下面我们 先考虑这一因素.即我们考虑人口为时间和年龄的函数. 引入人口分布函数F(r,t):表示t时刻年龄小于r的人口数.记t时 刻的人口总数为N(t),最高年龄为rm,则 F(0,t) 0, F(r ,t) N(t). = m = 定义人口密度函数为 . ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 r F r r t F r t r F p r t r + − = = → 于 是p(r,t)d r表示时刻t年龄在区间[r,r + d r)内的人数. F(r + dr,t) − F(r,t) = p(r,t)dr
考虑死亡情况显然,当人口数量一定时我们可以假设 段时间内的死亡人数与时间段的长度成正比同样在同 样的时间段内某一地区的死亡人数与该地区的总人数 成正比故我们完全可以假设在一段时间内某一地区人 口的死亡人数正比于该地区的人口总数与时间的长度 的乘积成正比该比例系数称为死亡率同样可以对某 年龄段内的人口的死亡率也可类似假设 p(r,)d表示时刻年龄在区间r,r+)内的人数 记(r,1)为时刻年龄的人的死亡率因此(r,t)p(r,t)dbr 表示时刻年龄在;,r+)内单位时间的死亡人数 因此山(r,t)p(r,t)dh表示时刻 年龄在r,r+d)经过时间死亡人数
[ , ) . ( , ) , ( , ) ( , ) 表示时刻年龄在 内单位时间的死亡人数 记 为 时刻年龄 的人的死亡率因 此 t r r dr r t t r r t p r t dr + 考虑死亡情况:显然,当人口数量一定时,我们可以假设一 段时间内的死亡人数与时间段的长度成正比;同样,在同 样的时间段内,某一地区的死亡人数与该地区的总人数 成正比.故我们完全可以假设在一段时间内某一地区人 口的死亡人数正比于该地区的人口总数与时间的长度 的乘积成正比,该比例系数称为死亡率.同样,可以对某一 年龄段内的人口的死亡率也可类似假设. p(r,t)dr表示时刻t年龄在区间[r,r + dr)内的人数. [ , ) . ( , ) ( , ) 年龄在 内经过 时间死亡人数 因 此 表示时刻 r r dr dt r t p r t drdt t +
我们推导(r,1)所满足的方程取时刻年龄在r,r+d)的 人到时劾+dl的情况他们之中活下来的人等龄变为 [r+h;r+ar+dh;),这里=,依据p的意义时刻+dl年 龄在r+hi,r+dr+ch)的人数为p(r+hi2t+d)dh,而在此段 时间内死亡的人数为(r,t)dh(r,)a,于是 p(r+dr t +dt)dr-p(r, tdr=-p(r, Du(r, t )drdt o p dr +p dt]ar=-p(r, t)u(r, tdrdt O at 于是p(r,1)满足偏微分方程 十 u(r, Op(r, t) ar at 方程(1)的定解条件有两个p(r0)=P(r)单位时间出生 的婴儿数(0,1)=f(1,称为婴儿出生鞦此模型为
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) . [ , ) ( , ) , [ , ), , , . ( , ) . [ , ) 1 1 1 1 1 1 1 p r d r t dt d r p r t d r p r t r t drdt p r t d r r t dt r d r r d r d r p r d r t dt d r r d r r d r d r d r dt p t dt t dt p r t t r r d r + + − = − + + + + + + + + = + + + 时间内死亡的人数为 于 是 龄 在 的人数为 而在此段 这 里 依 据 的意义时 刻 年 人到时刻 的情况 他们之中活下来的人的年龄变为 我们推导 所满足的方程取 时刻年龄在 的 ( , ) ( , ). (1) ( , ) [ ] ( , ) ( , ) , 1 r t p r t t p r p p r t dt dr p r t r t drdt t p dr r p = − + = − + 于 是 满足偏微分方程 的婴儿数 称为婴儿出生率因此模型为 方 程 的定解条件有两个 单位时间出生 (0, ) ( ), . (1) : ( ,0) ( ); 0 p t f t p r p r = =
(r,D)p(r,D)2r>0,t>0 ar at p(r20)=P0(r) p(0,t)=f() 这里μ(r;t)为已知函数求解问题(2)的方法是特征线法依赖于函 数μ(r;t)的形式在社会安定的局面下和不太长的时间内死亡率 大致与时间无关,因此μ(r;t)=p(r.这时我们可以解出其解为 u(s)d P(r, t)=o r-t)e 0r u(s)ds r↑p(r-e 解释 (t-r)e°
(2) = = = − + (0, ) ( ), ( ,0) ( ), ( , ) ( , ), 0, 0 0 p t f t p r p r r t p r t r t t p r p 这里μ(r,t)为已知函数.求解问题(2)的方法是特征线法,依赖于函 数μ(r,t)的形式.在社会安定的局面下和不太长的时间内,死亡率 大致与时间无关,因此μ(r,t)= μ(r).这时我们可以解出其解为 (3) − − = − − − f t r e t r p r t e t r p r t r r r t s d s s d s ( ) , ( ) , 0 ( , ) 0 ( ) ( ) 0 解释 − − r s ds f t r e 0 ( ) ( ) − − − r r t s ds p r t e ( ) 0 ( ) t r
4生育率和生育模式 在上面的模型中我们没有考虑人口中的性别分布为了预测 和控制人口的发展状况必须关注和控制婴儿出生率f(t) 记女性性别比例函数为k(r:t),即时刻年龄在[r;r+dr)的女性 人数为k(rt)p(r;)dr,将这些女性在单位时间内平均每人的生 育数记做b(rt)设育龄区间为r1r,则 f()=「b(r,0)k(r1)p(r,1)db再将b(r,1)定义为b(r,1)=B()h(r,t) 其中h(r,t满足∫h(r,r=1,于是B()=∫b(r;t)dr f(1)=B()h(r21)k(r:1)p(,1)h 从上面可以看出/(直接含义是时刻平均每个育龄女惮位 时间内的生育数也可以理解为平均每攸性一生的总和生育数 或生育胎次(,1)是年龄为为女性的生育加权因子称生育模式
4.生育率和生育模式 在上面的模型中,我们没有考虑人口中的性别分布.为了预测 和控制人口的发展状况,必须关注和控制婴儿出生率f(t). 记女性性别比例函数为k(r,t), 即时刻t年龄在[r,r+dr)的女性 人数为k(r,t)p(r,t)dr,将这些女性在单位时间内平均每人的生 育数记做b(r,t).设育龄区间为[r1 ,r2 ], 则 = = = = 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( , ) 1, ( ) ( , ) , ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ) ( , ), r r r r r r h r t h r t d r t b r t d r f t b r t k r t p r t d r b r t b r t t h r t 其 中 满 足 于 是 再 将 定义为 . ( , ) , . , , ( ) 或生育胎次 是年龄为 为女性的生育加权因子称生育模式 时间内的生育数也可以理解为平均每个女性一生的总和生育数 从上面可以看出 的直接含义是时刻平均每个育龄女性单 位 h r t r t t (4) = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . r r f t t h r t k r t p r t dr
一般情况下,我们简化h(r;t)=h(r).其图形为两端低中间高常 假设h(r)为 一 e -(r-n)/6 ) r>r 0r(a) 并取O=2,a=n/2这时有生育率最大处r=F+n-2 这样(2)4)就构成我们的模型其中μ(rt),pnk(r;可由人口普 查资料得到或在资料基础上估计出而生育模式h(r,t)和生育 率则是可以用于控制人口发展的两种手段生育率可以控制生 育的多少,h(r;t)可以控制生育的早晚和疏密我们国家的计划 生育及晚婚晚育政策正是通过这两种手段来实施的要想人口 把人口增长的势头降下来,必须经过长期的努力 人口指数通俗的一些人口数据更容易被接受它们能够 反映人口的一些基本特征我们来看看
一般情况下,我们简化h(r,t)=h(r). 其图形为两端低,中间高.常 假设 h(r) 为 2, / 2. 2. , . ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )/ 1 1 = = = + − − = − − − n r r n r r r r e h r c r r 并 取 这时有生育率最大处 这样,(2),(4)就构成我们的模型,其中μ(r,t),p0 ,k(r,t)可由人口普 查资料得到或在资料基础上估计出.而生育模式h(r,t)和生育 率则是可以用于控制人口发展的两种手段.生育率可以控制生 育的多少, h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密.我们国家的计划 生育及晚婚晚育政策正是通过这两种手段来实施的.要想人口 把人口增长的势头降下来,必须经过长期的努力. 人口指数 通俗的一些人口数据更容易被接受,它们能够 反映人口的一些基本特征.我们来看看