差分方程模型 层次分析模型
差分方程模型 层次分析模型
人们经常遇到一些复杂问题的决策的情形,比如医生 为疑难病症确定治疗方案;高考报考学校、专业的选 择作出城市发展规划等等这时,人们往往需要考虑很 多因素而且在对它们进行比较、判断、评价、决策 时,其重要性、影响力或者优先程度往往难以量化这 给用数学方法解决问题带来了本质上的困难决策时 人的主观选择起主要作用 本节介绍IL.Saty等人20世纪70年代提出的一种处 理这种问题的实用方法称为层次分析法 下面我们先看一个例子从中引出层次分析法的 基本步骤
人们经常遇到一些复杂问题的决策的情形,比如:医生 为疑难病症确定治疗方案;高考报考学校、专业的选 择,作出城市发展规划等等.这时,人们往往需要考虑很 多因素,而且在对它们进行比较、判断、评价、决策 时,其重要性、影响力或者优先程度往往难以量化,这 给用数学方法解决问题带来了本质上的困难,决策时 人的主观选择起主要作用. 本节介绍T.L. Saaty等人20世纪70年代提出的一种处 理这种问题的实用方法,称为层次分析法. 下面我们先看一个例子,从中引出层次分析法的 基本步骤
引例假期旅游目的地的选择 假设有P1,P2,P3共3个旅游胜地供你选择而你会根 据景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则 去反复比较那3个候选地点 首先你会确定这些准则在你的心中各占多大的比重, 如果你经济绰,醉心旅游,自然是特别看重景色条件, 而平素简朴或手头拮据的人则会优先考虑费用而中 老年人则更关注居住、饮食、旅途条件 其次你会就每一个将这3个地点进行对比譬如P1景 色最好P2次之;P2用最低,P3次之;居住等条件P3 最好,P次之最后,你将这两个层次的比较进行综合, 决定选择其中一个为最佳地点
引例 假期旅游目的地的选择 假设有P1,P2,P3共3个旅游胜地供你选择,而你会根 据景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则 去反复比较那3个候选地点. 首先,你会确定这些准则在你的心中各占多大的比重, 如果你经济宽绰,醉心旅游,自然是特别看重景色条件, 而平素简朴或手头拮据的人,则会优先考虑费用,而中 老年人则更关注居住、饮食、旅途条件. 其次,你会就每一个将这3个地点进行对比,譬如P1景 色最好,P2次之;P2费用最低,P3次之;居住等条件P3 最好,P1次之.最后,你将这两个层次的比较进行综合, 决定选择其中一个为最佳地点
一般的问题跟上面的引例相类似,整理成如下步骤: 1.将决策问题分成三 个层次最上层为目标目标层选择目的地 层最下层为方案层; 2通过相互比较确定各 最费居饮旅 个准则对于目标的权则层色用住食途 重以及各方案对于每 准则的权重要量化 3将上面两层的权重 进行综合最终确定方方案层PlP2P3 案层对目标层的权重
一般的问题跟上面的引例相类似,整理成如下步骤: 1. 将决策问题分成三 个层次:最上层为目标 层,最下层为方案层; 2.通过相互比较确定各 个准则对于目标的权 重以及各方案对于每 一准则的权重.要量化. 3. 将上面两层的权重 进行综合,最终确定方 案层对目标层的权重. 方案层 P1 P2 P3 景 色 费 用 居 住 饮 食 旅 准则层 途 目标层 选择目的地
成对比较矩阵和向量 前面说过这些因素的量化是不容易的人们凭自己的经 验和知识进行判断如果我们只是简单地作定性的结果, 当然不容易被人接受.层次分析法的做法:一是不把所 有的因素放在一起比较而是两两相互对比;二是对比采 用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的因素相互比较 的困难,提高准确度. 接引例准层对目标层的两两比较 用an表示因素C,C对目标O的影响之比 因些有
成对比较矩阵和向量 前面说过,这些因素的量化是不容易的,人们凭自己的经 验和知识进行判断.如果我们只是简单地作定性的结果, 当然不容易被人接受. 层次分析法的做法:一是不把所 有的因素放在一起比较,而是两两相互对比;二是对比采 用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的因素相互比较 的困难,提高准确度. 接引例 准则层对目标层的两两比较 用aij表示因素Ci ,Cj 对目标O的影响之比 , 1 ji ij a 因此有 a =
记 a=ai),ai>o,a 称A为成对比较矩阵满足上面关系的矩阵也称为 正互反矩阵 下面是某人得到的成对比较矩阵: 11/243 2175 35 A=1/41/711/21/3 1/31/521 1/31/5311 注换一个人得到的成对比较矩阵可能与上面这个 差别很大同一个人作两次判断时也可能有些差别
记 . 1 ( ), 0, ji ij ij ij a A = a a a = 称A为成对比较矩阵.满足上面关系的矩阵也称为 正互反矩阵. 下面是某人得到的成对比较矩阵: = 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A 注 换一个人得到的成对比较矩阵可能与上面这个 差别很大.同一个人作两次判断时也可能有些差别
1/24331发现矛盾之处多多 21755 A=1/41/7 1/21/3 1/31/5211 1/31/531 若因素对目标影响能够准确度量,则应该有 Vi,ik 一个满足上式的正互反矩阵称为一致阵 性 设4为n阶一致阵则R(4)=1且特征值为0和n 质A的任一列向量为A相应于n的特征向量
= 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A 发现:矛盾之处多多. 若因素对目标影响能够准确度量,则应该有 a a a i j k ij jk ik = , , , 一个满足上式的正互反矩阵称为一致阵. 性 质 设A为n阶一致阵,则R(A)=1,且特征值为0和n; A的任一列向量为A相应于n的特征向量
若A为一致阵则A的每一列中的分量的大小反映了该 因素的影响大小,归一化后可表示各个因素对上层的 影响的权重故称为权向量. 若A不是一致阵但是在不一致的容许范围内,则用成 对比较矩阵A的最大特征值的特征向量v(归一化作 为权向量. 这一方法称为特种根法
若A为一致阵,则A的每一列中的分量的大小反映了该 因素的影响大小,归一化后可表示各个因素对上层的 影响的权重,故称为权向量. 若A不是一致阵,但是在不一致的容许范围内,则用成 对比较矩阵A的最大特征值λ的特征向量w(归一化) 作 为权向量. 这一方法称为特种根法
比较尺度 进行成对比较时,建议同一层的因素个数在7±2,两两 比较的等级分成5种明显的等级以及4个过渡等级: a=1,3,5,7,9分别表示C与(比C相同的影响,影响稍 强,影响强影响明显的强,影响绝对的强五种情形. a1=2,4,6,8分别表示介于相邻的两个等级之间 这种做法有心理学上的支持, 也由实验得到验证
比较尺度 进行成对比较时,建议同一层的因素个数在7±2,两两 比较的等级分成5种明显的等级以及4个过渡等级: aij=1,3,5,7,9分别表示Ci与(比)Cj相同的影响,影响稍 强,影响强,影响明显的强,影响绝对的强 五种情形. aij=2,4,6,8分别表示介于相邻的两个等级之间. 这种做法有心理学上的支持, 也由实验得到验证
一致性检验 当我们用上面的比较尺度做法得到了成对比较矩阵,但 是它一般不是一致阵为了特征值的特征向量作为权向 量,我们需要成对比较矩阵的不一致程度在容许的范围 内问题如何界定? 定理设A是成对比较矩阵则其最大特征值n;当=n 时,A是一致阵 由此定理以及λ连续依赖于a的事实可知,λ比n大得 越多,则A的不一致程度越严重因此定义A的一致性 指标为 1-n
一致性检验 当我们用上面的比较尺度做法得到了成对比较矩阵,但 是它一般不是一致阵,为了特征值的特征向量作为权向 量,我们需要成对比较矩阵的不一致程度在容许的范围 内.问题:如何界定? 定理:设A是成对比较矩阵,则其最大特征值λ≥n;当λ=n 时, A是一致阵. 由此定理以及λ连续依赖于aij的事实可知, λ比n大得 越多,则A的不一致程度越严重,因此定义A的一致性 指标为 −1 − = n n CI