华东交通大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 代数系统的一般性质

第五章代教系统的一性质 551二元运算及事华质 552代数系统及其子代数 553代数系统的同态与同构 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 1 第五章 代数系统的一般性质 §5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数 §5.3 代数系统的同态与同构

85.1二元远算及其性质 一、二元运算的概念 二元运算:设为集合,函数f:SxS→S称为S上 的一个二元运算,简称为二元运算。 集合对运算的封闭性:给定集合S,如果对集合上 的所有元素进行某种运算后,运算结果仍 在中,则称集合S对该运算封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算,首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 2 如：集合 验证运算是否为集合 Z对加、减、乘法封闭，但对除法不封闭。 S上的二元运算，首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 一、二元运算的概念 二元运算：设S为集合，函数f : S  S → S称为S上 的一个二元运算，简称为二元运算。 §5.1 二元运算及其性质 集合对运算的封闭性：给定集合S ，如果对集合上 的所有元素进行某种运算后，运算结果仍 在S中，则称集合S对该运算封闭

一、二元运算的概念(续) 常见二元运算: (1)设f:NxN→N,∫(x,y)=x+y,则是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 是N上的二元运算,但减法不是。 (2)整数集合z上的加、减、乘法运算是z上的二元 运算,但除法不是。 (3)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合,则矩阵的 加法和乘法都是M(R)上的二元运算。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 3 一、二元运算的概念（续） 常见二元运算： (1) 设f : N  N → N，f () = x + y，则f 是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 是N上的二元运算，但减法不是。 (2) 整数集合Z上的加、减、乘法运算是Z上的二元 运算，但除法不是。 (3) 设Mn (R)表示所有n阶实矩阵的集合，则矩阵的 加法和乘法都是Mn (R)上的二元运算

一、二元运算的概念(续) (4)S为任意集合,P(S为其幂集,则∪,∩,-,⊕都 是P(S)上的二元运算。 (5)S为集合,S是S上的所有函数的集合,则合成 运算。是S上的二元运算。 n元运算:设S为集台,n为正整数,则函数 ∫:S×Sx.×S→S称为S上的一个n元运算, 简称为n元运算。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 4 一、二元运算的概念（续） (4) S为任意集合，P(S)为其幂集，则∪,∩, − ,  都 是P(S)上的二元运算。 (5) S为集合， S S是S上的所有函数的集合，则合成 运算 是S S上的二元运算。 n元运算：设S为集合，n为正整数，则函数 f : S  S …  S → S称为S上的一个n元运算， 简称为n元运算。 n个

一、二元运算的概念(续) n元运算通常用符号。,*,°,A…来表示。 如:f:NxN→N,对x,y∈N, f∫(<x,y)=x+y可简记为。(x,y)=x+y 可κxoy=x+y g:N→N,∫(x)=y可简记为。(x)=y 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 5 一、二元运算的概念（续） n元运算通常用符号 ,  , • ,  …来表示。 如： f : N  N → N，对 x, yN ， f () = x + y 可简记为  (x, y) = x + y 或x  y = x + y。 g : N → N，f (x) = y 可简记为  (x) = y

一、二元运算的概念(续) 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出 o(;) n o(a aoa 2 o(( 2 ao a n a.o a 2 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 6 一、二元运算的概念（续） 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。 a1 a1  a1 a1  a2 … a1  an  a1 a2 … an a2 a2  a1 a2  a2 … a2  an an an  a1 an  a2 … an  an … … … … an (an )   (ai ) a1  (a1 ) a2  (a2 ) … …

一、二元运算的概念(续) 例1:设S={1,2,3,4},定义S上的二元运算如下: xoy=(xy)mod5,Vx,y∈S。 求。的运算表。 234 22413 33142 321 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 7 一、二元运算的概念（续） 例1：设S ={1, 2, 3, 4}，定义S上的二元运算如下： x  y = (xy) mod 5，  x, yS。 求 的运算表。  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1

、二元运算的性质 1、交換律:设。是S上的二元运算,若对x,y∈S都 有xoy=yox,则称运算。在S上是可交换的。 如:Z上的加法满足交换律,但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的U,∩,⊕满足交换律 2、结合律:设。是S上的二元运算,若对yx,y,z∈S 都有(xy)oz=x°(°z),则称运算。在S上 是可结合的。 如:z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的U,∩, 满足结合律。 2021/2/24 离散数学

2021/2/24 离散数学 8 如：Z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的∪,∩,  满足结合律。 二、二元运算的性质 1、交换律：设 是S上的二元运算，若对 x, yS都 有x  y = y  x，则称运算 在S上是可交换的。 2、结合律：设 是S上的二元运算，若对 x, y, z S 都有(x  y)  z = x  (y  z)，则称运算 在S上 是可结合的。 如：Z上的加法满足交换律，但减法不满足交换律。 幂集P(S)上的∪,∩,  满足交换律

、二元运算的性质(续) 3、幂等律:设。是S上的二元运算,着对x∈S都 有xox=x,则称运算适合幂等律。 也即是S中的所有元素都是幂等元。 如:幂集P(S上的υ,∩运算适合幂等律,但⊕运算 不适合幂等律。 2021/2/24 离散数学 9

2021/2/24 离散数学 9 二、二元运算的性质（续） 3、幂等律：设 是S上的二元运算，若对 xS都 有x  x = x，则称运算 适合幂等律。 也即是 S中的所有元素都是幂等元。 如：幂集P(S)上的∪,∩运算适合幂等律，但 运算 不适合幂等律

、二元运算的性质(续) 4、分配律:设。和*是S上的两个二元运算,若对 Ⅴx,y,z∈S都有x*(°)=(x*y)o(x*z) 和(°z)*x=(*x)(z*x),则称运算* 对。适合分配律。 如:R上的乘法对加法满足分配律,加法对乘法不 满足分配律。幂集PS)上的U和∩是相互可分 配的。 2021/2/24 离散数学 10

2021/2/24 离散数学 10 4、分配律：设 和  是S上的两个二元运算，若对  x, y, z S都有x  (y  z) = (x  y)  (x  z) 和(y  z)  x = (y  x)  (z  x)，则称运算 对 适合分配律。 二、二元运算的性质（续） 如： R上的乘法对加法满足分配律，加法对乘法不 满足分配律。幂集P(S)上的∪和∩是相互可分 配的