第四章随机分析及均方微分方程 第一节二阶矩过程 第二节均方极限 第三节均方连续性 第四节均方导数 第五节均方积分 第六节均方黎曼一司蒂吉斯积分 第七节均方导数与均方积分的分布 第八节均方微分方程
第四章 随机分析及均方微分方程 第一节 二阶矩过程 第二节 均方极限 第三节 均方连续性 第四节 均方导数 第五节 均方积分 第六节 均方黎曼—司蒂吉斯积分 第七节 均方导数与均方积分的分布 第八节 均方微分方程
第一节二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t),t∈T},对任意t∈T,有 m()=E[X(t)]<∞o D(t)=E[(X(t)-m()2]<∞ 则称为二阶矩过程 首页
第一节 二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t) ,t T }，对任意t T ，有 m(t) = E[X (t)] ( ) = [( ( ) − ( )) ] 2 D t E X t m t 则称为二阶矩过程 首页
例1设X(t)=X0+,a≤t≤b 其中X0和是相互独立且都服从正态分布N(0,1) 的随机变量,试判断Y(1)为二阶矩过程 解由于X和都服从正态分布,所以x()也具有 正态分布,且 mx(t)=ELX(O]=ELXo+t]=ELXOJ+tE]=0 K(12)=EX(1)X(2)=E(X+吃1)X+吃t2 =E[X]+122]=1+12 令4=2=t,得D(t)=1+t2 故X(1)为二阶矩过程。 首页
例1 其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1） 的随机变量， 解 由于 和V都服从正态分布，所以 也具有 正态分布， 设 X t = X +Vt 0 ( ) ，a t b ， X0 试判断 X(t) 为二阶矩过程。 X0 X (t) 且 m (t) E[X(t)] X = [ ] = E X0 +Vt [ ] [ ] 0 = E X0 +tE V = ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 K t t = E X t X t [( )( )] = E X0 +Vt1 X0 +Vt2 [ ] [ ] 2 1 2 2 = E X0 +t t E V 1 1 2 = +t t 令t = t = t 1 2 ，得 D (t) X 2 =1+ t 故 X(t) 为二阶矩过程。 首页
性质阶矩过程的协方差函数一定存在首页 证K(4,12)=coⅵX(t1)2X(2 =E{X(1)-m(1X(t2)-m(2)} 由许瓦兹不等式得 K(1,2)2=E{[X(1)-m(4)[X(2)-m(2)}2 ≤E{X(t1)-m(t1E{X(t2)-m(2)} DX(41)·DX(2) 故|K(212)2<+0 即二阶矩过程X(1)的协方差函数存在 注二阶矩过程的相关函数R(,2)也一定存在
性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 ( , ) cov[ ( ), ( )] 1 2 1 2 K t t = X t X t {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 1 2 2 = E X t −m t X t −m t 由许瓦兹不等式得 2 1 1 2 2 2 1 2 | K(t ,t )| =| E{[X(t ) −m(t )][X(t ) − m(t )]}| {[ ( ) ( )] } {[ ( ) ( )] } 2 2 2 2 1 1 E X t − m t E X t − m t [ ( )] [ ( )] 1 2 = D X t D X t 故 + 2 1 2 | K(t ,t )| 即二阶矩过程 X (t) 的协方差函数存在 注 二阶矩过程的相关函数 ( , ) 1 2 R t t 也一定存在。 首页
说明在讨论二阶矩过程中,常假定均值为零, 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页
说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零， 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页
第二节均方极限 、均方收敛 定义1设随机变量序列{Xn,n=12,}和随机变 量X都存在二阶矩,如果 Iim EL(X-X=0 n→0 则称{Xn}均方收敛于X,或称X是{Xn}的均方极限 记作1.i.mXn=X或简记为1.i.mX=X n→ n 首页
第二节 均方极限 一、均方收敛 定义1 设随机变量序列{ ，n = 1,2,…}和随机变 量X都存在二阶矩， Xn 如果 lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n 则称{ } Xn 均方收敛于X， 或称X是{ } Xn 的均方极限 记作 Xn = X n → l.i.m 或简记为 l.i.m Xn = X 首页
二、均方收敛准则 定理1柯西准则 设{xn,n=1,2,…}是二阶矩随机变量序列, 则X,均方收敛的充要条件为 Im ELXn-Xm=0 n→0 n→00 证只证必要性 因为Xn均方收敛于X,所以有 Im ELXn-X=0 lm EL(Xm-X=0 →0 首页
二、均方收敛准则 定理1 柯西准则 则 Xn 均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为 均方收敛于X， 所以有 设{ Xn ,n = 1,2, …}是二阶矩随机变量序列， lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X Xn lim [( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim [( ) ] 0 2 − = → E X m X m 首页
又由(Xn-Xn)2=[(Xn-X)-(Xn-X)2 ≤2(Xn-X)2+2(Xn-X)2 所以当n→>∞,m→>∞时,得 0≤lmE[(Xn-Xn)2 n→00 00 0 故 ELXn-Xm=0 n→00 n→00 首页
又由 所以 故 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X 2 2 (X X ) [(X X ) (X X )] n − m = n − − m − 2 2 2(X X ) 2(X X ) n − + m − 当n → ，m → 时，得 0 lim [( ) ] 2 n m m n E X − X → → 2{lim [( ) ] lim [( ) ]} 2 2 E X X E X m X m n n − + − → → = 0 首页
注mB(xn-Xm)=0等价mE(XnXm)存在 n→00 m→00 1→00 其说明随机变量序列X,均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛 三、 均方收敛性质 性质1若1.i.mXn=X则 lim EX,=E(X)=E(Ii m Xn) n→00 首页 证由许瓦兹不等式得 E(X)-EX=E(X-XI SEIXn-XI 因imn[E(Xn-X)2]=0故得证 n→0 注当Xn均方收敛于x时,Xn的期望收敛于x的期望
注 等价 存在 其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它 的相关函数列按普通极限意义收敛。 Xn 三、均方收敛性质 性质1 若 则 lim [( ) ] 0 2 − = → → n m m n E X X lim ( ) n m m n E X X → → l.i.m Xn = X lim E[X ] E(X ) n n = → ) E Xn = (l.i.m 证 由许瓦兹不等式得 − = 2 | E(X ) E(X ) | n 2 | E(X X ) | n − 2 E | X X | n − 因 lim[ ( ) ] 0 故得证 2 − = → E Xn X n 注 当 Xn均方收敛于X时，Xn的期望收敛于X的期望 首页
性质2 若1.i.mXn=X1.i.mY=Y 9y lim E[X, Ym]=E(XY)=E(l i m X, 1.i. m Y) n→00 n→00 证由许瓦兹不等式得 首页 LE(X,)-E(XDE(X Ym-XY =ElX(m-Y+(Xn-XY+(Xn-XCm-YI ELX(Ym-YI+EL(X-X)Y+EL,-X(m-n) ≤{E(X)E(Ym-Y)]}2+,{E[(Xn-X)]E(Y)}2 +El(,-X -YI 因lmnE(Xn-X)2]=0im[E(x-)]=0故得证 n→)0
性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 l.i.m Xn = X l.i.m Yn = Y lim E[X Y ] E(XY) n m m n = → → ) E Xn Yn = (l.i.m l.i.m | E(X Y ) E(XY)| | E(X Y XY)| n m − = n m − | E[X(Y Y) (X X)Y (X X)(Y Y)]| = m − + n − + n − m − | E[X(Y Y)]| | E[(X X)Y]| m − + n − | E[(X X)(Y Y)]| + n − m − 2 1 2 2 {E(X )E(Y Y) ]} m − 2 1 2 {E[(X X ) ]E(Y)} + n − 2 1 2 2 {E[(X X) ]E[(Y Y) ]} + n − m − 因 lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Xn X n lim[ ( ) ] 0 2 − = → E Yn Y n 故得证 首页