东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第七章 金融市场中的维纳过程和小概率事件

第七章金融市场中的维纳 过程和小概率事件 第一节随机环境中的微分 第二节两个一般模型 第三节罕见和正常事件的描述 第四节小概率事件的模型

第七章 金融市场中的维纳 过程和小概率事件 第一节 随机环境中的微分 第二节 两个一般模型 第三节 罕见和正常事件的描述 第四节 小概率事件的模型

首页第一节随机环境中的微分 设一资产价格()为时间t∈[0,7]上随机变量 则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的, 其随机微分形式为 ds, =a(s,, t)dt +b(,, t)dw 其中aW表示在无穷小间隔的不可测事件, a(S,D)和b(S,D)是漂移核扩散因子,且与相适应

设一资产价格 为时间 上随机变量 第一节 随机环境中的微分 S(t) t [0,T] 则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的， 其随机微分形式为 t t t dWt dS = a(S ,t)dt +b(S ,t) 其中dWt 表示在无穷小间隔dt 的不可测事件， a(S ,t) t 和b(S ,t) t 是漂移核扩散因子，且与 t I 相适应。 首页

、随机微分的构建 先构建离散时间的随机微分等式 将时间段[0,插点 0=10<1<…<tk<…<tn 分成长度为h的n等份, h4=hk=1,2 T h n 则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为: k=S(hk) △Sk=S(h)-S(0k-1)h) 首页 定义一个随机变量△W

先构建离散时间的随机微分等式 0 = t 0  t 1  t k  t n = T 将时间段[0,T] 插点 分成长度为 h 的 n 等份, t k −t k−1 = h h T n = t k = kh 则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为： S S(hk) k = S S(hk) S((k 1)h)  k = − − k =1,2,  ,n 定义一个随机变量Wk 一、随机微分的构建 首页

AWk=Sk-Sk-EkILSk-Sk-II 其中[S-S1]表示在间隔k-1结束时的可得信息 的情况下,完全不可知;反映在第k 个间隔内资产价格S(的真实变化 首页 Ek1]表示在间隔k-1结束时的可得信息 的期望条件,反映在给出信息集/k1 情况下市场参与者的预期。 则△W是S=S中的一部分,称为“革新 项 1、在间隔k-1结束时未知,而在间隔k 革新项具结束时可观察到。即知道信息k,就能 有特征说出其确切值,且 EA[△W]=△Wk

其中 [ ] [ ] Wk = Sk − Sk−1 − Ek−1 Sk − Sk−1 [ ] Sk − Sk−1 表示在间隔 结束时的可得信息 的情况下，完全不可知；反映在第k 个间隔内资产价格 的真实变化。 k −1 S(t) [ ] 1 • Ek− 表示在间隔 结束时的可得信息 的期望条件，反映在给出信息集 情况下市场参与者的预期。 k −1 k −1 I 则 Wk 是 中的一部分，称为“革新 项” [ ] Sk − Sk−1 革新项具 有特征 1、在间隔 结束时未知，而在间隔 k 结束时可观察到。即知道信息 ，就能 说出其确切值，且 k −1 Ek Wk = Wk [ ] k I 首页

2在给出时刻k-1的信息集的情况下,其值是不可 测的。即对于所有的k E=1[△Wk]=0 3W表示在鞅过程中的变化,称作鞅微分。 记累加的误差过程: Wk=△W1+…+△WkWo=0 则W是鞅 原因是EA1W=E1△W1+…+△W] Ek1△W1]+…+Ek1[AWk=1]+Ek1△Wk =△W1+…+△Wk21=Wk1 首页

表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。 2 Wk 在给出时刻 的信息集的情况下，其值是不可 测的。 3 k −1 即对于所有的k Ek−1 [Wk ] = 0 记累加的误差过程： Wk = W1 ++ Wk 0 W0 = 则Wk 是鞅 原因是 [ ] Ek−1 Wk = Ek−1 W1 ++ Wk [ ] [ ] [ ] = Ek−1 W1 ++ Ek−1 Wk−1 + Ek−1 Wk = W1 ++ Wk−1 =Wk−1 首页

说明 对于一个金融市场参与者来说,其在资产 价格中的重要信息是△W。这些不可测 的信息连续发生并且能被在线观察到。因 此,资产价格的在线运动就由△W控制 二、递增误差的大小 革新项ΔWk表示一个不可测的变化,其平方 项(△W)2是不可忽略的。(这与传统微分不同) 2kn 设AW的方差为k,即Vk=E0[△W 累积误差的方差V=E∑△W]=∑Vk k=1 k=1 且△W之间不相关,以及干扰项的期望是0 首页

对于一个金融市场参与者来说，其在资产 价格中的重要信息是 。这些不可测 的信息连续发生并且能被在线观察到。因 此，资产价格的在线运动就由 控制。 说明 Wk 二、 递增误差的大小 革新项 表示一个不可测的变化，其平方 项 是不可忽略的。（这与传统微分不同） Wk Wk 2 ( ) Wk 设 Wk 的方差为 Vk ，即 [ ] 2 Vk = E0 Wk 累积误差的方差   = = =  = n k k n k V E Wk V 1 1 2 0 [ ] 且 Wk 之间不相关，以及干扰项的期望是0。 首页

默顿方法 假设1 1>A1>0 A,独立于n 注此假设对证券价格的可变性附加了一个下限,即当 间隔被分成越来越小的子间隔,累积误差的方差 是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消 除所有的风险,即资产价格具有不确定性 假设2V<A2<∞A2独立于n 注这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。 当时间段被分成越来越小的间隔,更频繁的交 易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限 首页」制的不稳定性

假设1 默顿方法 注 此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当 间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差 是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消 除所有的风险，即资产价格具有不确定性。 假设2 V  A1  0 A1 独立于n V V  A2   A2 独立于n 注 这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。 当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交 易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限 首页 制的不稳定性

假设3 >A30<A3<1A3独立于n max m=max[Vk,k=1,…,n] k 注假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是 不集中的。无论市场什么时候开始,至少会存在 些可变性。即说明在金融市场上可预测不确定性 定理1在假设1,2,3的前提下,AW的方差与h有关: E[△W]2=h 其中Ok是一个有限的定数,它并不取决于h而取决 于时刻k-1的信息 首页

在假设1，2，3的前提下， 的方差与h有关： 假设3 注 假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是 不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一 些可变性。即 说明在金融市场上可预测不确定性 定理1 其中 是一个有限的定数，它并不取决于h而取决 于时刻 的信息. 3 ,0 3 1 max  A  A  V Vk max[ , 1, , ] Vmax Vk k n k = =  A3 独立于n E Wk k h 2 2 [ ] =  k k −1 Wk 首页

证明由假设3 k>A3V 在所有的间隔上对两边同时求和 ∑ k >nA 6 max k= 由假设2 >∑Wk>n1 max 即 > max 又因n h 则 h A T A may 故得出有取决于h的上限 首页

证明 由假设3 在所有的间隔上对两边同时求和： 由假设2 即 Vk  A3 Vmax 3 max 1 Vk nA V n k   = 3 max 1 A2 Vk nAV n k    = max 3 1 2 V A A n  又因 h T n = 则 V Vk A A T h  max 3 2 故得出 有取决于h的上限. Vk 首页

由假设1∑V>A 得nV A1即V A max maX 再假设3k>A3m max T 得 > h h 故得出V有取决于h的下限 因此 h>v> h T 这意味着能找到一个取决于k的定数Ok,使V1 k 与h成比例:即可表为 k=E[△Wk h 首页

由假设1 得 即 再假设3 h T 得 n = 故得出 有取决于h的下限. Vk 1 1 Vk A n k   = nVmax  A1 n A V 1 max  Vk  A3 Vmax h T A A n A A Vk 3 1 3 1  = 因此 h T A A h V TA A k 3 1 3 2   这意味着能找到一个取决于k的定数 ，使 与h成比例：  k Vk Vk E Wk k h 2 2 = [ ] = 即可表为 首页