中科院研究生院专业基础课：《图论与网络流理论》第六章染色理论（高随祥）.pdf_大学文库

1 第六章染色理论许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。此外，在许多应用中，人们希望知道：一个给定的图，它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。 §6.1 边染色定义 6.1.1 非空无环图 G 的边正常 k 染色（proper edge k- colouring）是指 k 种颜色12 , ，，" k 对 E(G)中元素的一种分配，使得相邻两条边所染颜色不同。换句话说，G 中边正常 k 染色是映射 c : E(G) → {1,2,", k}，使得对每个 i (i = 1,2,", k ), ( ) 1 c i − 是匹配或者空集。注：若令 ( ) { ( ) ( ) }, ( 1,2, , ) 1 E c i e E G c e i i k i = − = ∈ = = " ，则 G 的一个边正常 k 染色可看成是边集的一种划分 ( , , , ) E1 E2 Ek c = " ，其中每个 Ei是匹配或空集。例如，下面给出了 5-圈的一种边正常 3 染色和 Petersen 图的一种边正常 4 染色。定义 6.1.2 若存在 G 的一种边正常 k 染色，则称 G 是边 k 色可染的（edge k-colourable）。注：（1）每个无环非空图的边必ε 色可染。（2）若 G 是边 k 色可染的，则对∀l ≥ k , G 也是 l 色可染的。定义 6.1.3 正整数 χ′(G) = min{k G 是边 k 色可染的}称为 G 的边色数 (edge chromatic number)。注：（1）若 χ′(G)＝k ，则 G 中边的任何 k 染色 ( , , , ) E1 E2 Ek c = " 中每个 Ei 都是非空的匹配。（2）G 的边色数 χ′(G)是 G 中边不交匹配的最小数目。（3） ( ) 2 1 ( ) K2n = n − = Δ K2n χ′ （因完全图 K2n有 2n-1 个边不交的匹配）（4）χ′(G) ≥ Δ(G) 。（设d(v) = Δ(G) ，则与 v 关联的 Δ(G) 条边至少需 Δ(G) 种色才能正常染色）。引理 6.1.1. 设 G 是非空无环的连通图，且不是奇圈，则存在 G 的边 2-染色，使得所用的两种色在每个度≥ 2的顶点处都出现。证明：（1）设 G 是 Euler 图，则 G 中无奇度点。若 G 本身是一个偶长度圈，则命题显然。若 G 不是一个偶长度圈，则 G 至少有一个顶点 v0满足d(v0 ) ≥ 4 (否则，G 中所有顶点都是 2 度的，由于 G 连通，从而 G 是圈，由引理条件，G 不是奇圈，故为偶圈，矛盾)。 3 3 4 1 1 3 2 2 1 3 1 2 4 2 2 3 2 1 1 2

设neve2…ev是G的一条Eer闭迹。令E1={e1为奇数},E2={ei为偶数}。于是c=(E1,E2)即为所求的边2-染色需要说明的是,Euer闭迹从度≥4的顶点出发是必需的。例如在下图中,若从2度顶点α处出发沿 Euler闭迹交替地对边进行2染色,则u点可能仅能获得一种色(如图,1、2 表示两种颜色)。 (2)设G不是 Euler图。此时给G增添一个新顶点v,将v与G的每个奇度顶点连一条边,得到一个新图G。显然G的所有顶点都是偶数度的,因而是 Euler图。设 ee2…eGny0是G的一个Euer闭迹,令E1={e|i为奇数},E2={ei为偶数},这样可得G的一个边2-染色c=(E1,E2),(其中v点的关联边有可能是同一种色)。按这种办法给G的边染色后,去掉vo及其关联的边,便得到G的一个边2-染色。对于G中偶度点,它关联的边及其颜色与G中相同:对G的任何奇度点v,在G中比在G中少关联条边,但只要dG(v)>1,便有d(v)≥3,故由染色的方法知,与v点关联的边中两种颜色的都有。这说明G的边2染色c=(E∩E(G),E2∩E(G)即为所求的边2-染色。证毕。定义614对于G的一个边k染色c,c(v)表示顶点v处出现的不同颜色的数目。设c与c 都是G的边k-染色(未必是正常染色)。若相应的c(v)与c(v)满足: ∑c(v)>∑c(v) 则称c'是对c的一个改进。不能改进的边k染色称为最佳边k染色。引理612设C=(E1,E2,…,E)是G的一个最佳边k染色,且存在一个顶点a及两种颜色 i和j色不在u处出现,而色j在u处出现了至少两次,则GEUE,]中含u的连通分支必是奇圈。证明:设G1是GE,UE中含的连通分支。若G1不是奇圈,则由引理61,G1有一个边-2染色,其两种色在G1中度≥2的每个顶点处都出现。按这种染色办法用色i和j给 EUE中的边重新染色后,得到G的一个新的边k染色c=(E1,E2,…E),其中,j 两色都在u处出现,故c()=c()+1,而对u之外的其它顶点v,都有c(v)≥c(v)。于是 ∑c()>∑c(v)。这与c是最佳边k染色矛盾。证毕 vEP( 定理61( Konig,1916)设G是二部图,则z'(G)=△(G)。 1]D. Konig, Uber Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und mengenlehre Math.Ann,77(1916),453-465 证明(反证法):假设x'(G)≠△(G)。则由定义613的注(4),x(G)>△(G)。设 C=(E1,E2,…,EA)是G的一个最佳边△染色,则c必定不是正常染色。故存在顶点u满足c()<d(),因而必有某两条在u点相邻的边染了同一种色。而且,因d()≤△(G),故

2 设 0 1 1 2 0 v e v e e v " ε 是 G 的一条 Euler 闭迹。令 E e i i { 1 = 为奇数}，E e i i { 2 = 为偶数}。于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色）。 (2) 设 G 不是 Euler 图。此时给 G 增添一个新顶点 v0，将 v0 与 G 的每个奇度顶点连一条边，得到一个新图 G*。显然 G*的所有顶点都是偶数度的，因而是 Euler 图。设 0 1 1 2 ( *) 0 v e v e e v " ε G 是 G* 的一个 Euler 闭迹，令 E e i i { * 1 = 为奇数}, E e i i { * 2 = 为偶数}，这样可得 G* 的一个边 2-染色 ( , ) * 2 * 1 * c = E E ，（其中 0 v 点的关联边有可能是同一种色）。按这种办法给 G* 的边染色后，去掉 0 v 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶度点，它关联的边及其颜色与 G* 中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G* 中少关联一条边，但只要dG (v) > 1 , 便有dG (v) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色的都有。这说明 G 的边 2-染色 ( ( ), ( )) * 2 * c = E1 ∩ E G E ∩ E G 即为所求的边 2-染色。证毕。定义 6.1.4 对于 G 的一个边 k-染色 c，c(v)表示顶点 v 处出现的不同颜色的数目。设 c 与c′ 都是 G 的边 k-染色（未必是正常染色）。若相应的 c(v)与c′(v)满足： ∑ ∑ ∈ ∈ ′ > ( ) ( ) ( ) ( ) v V G v V G c v c v , 则称c′是对 c 的一个改进。不能改进的边 k 染色称为最佳边 k 染色。引理 6.1.2 设 ( , , , ) E1 E2 Ek c = " 是 G 的一个最佳边 k 染色，且存在一个顶点 u 及两种颜色 i 和 j, 色 i 不在 u 处出现，而色 j 在 u 处出现了至少两次，则 [ ] G Ei ∪ Ej 中含 u 的连通分支必是奇圈。证明：设 G1是 [ ] G Ei ∪ Ej 中含 u 的连通分支。若 G1 不是奇圈，则由引理 6.1.1，G1有一个边-2 染色，其两种色在 G1 中度≥ 2的每个顶点处都出现。按这种染色办法用色 i 和 j 给 Ei ∪ Ej 中的边重新染色后，得到 G 的一个新的边 k-染色 ( , , , ) E1 E2 Ek c′ = ′ ′ " ′ ，其中 i, j 两色都在 u 处出现，故c′(u) = c(u) +1,而对 u 之外的其它顶点 v，都有c′(v) ≥ c(v) 。于是 ∑ ∑ ∈ ∈ ′ > ( ) ( ) ( ) ( ) v V G v V G c v c v 。这与 c 是最佳边 k-染色矛盾。证毕。定理 6.1.1（König[1], 1916）设 G 是二部图，则 χ′() () G G = Δ 。 [1] D. König, Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und mengenlehre, Math. Ann., 77(1916), 453-465. 证明（反证法）：假设 χ′() () G G ≠ Δ 。则由定义 6.1.3 的注（4）， χ′() () G G > Δ 。设 ( , , , ) = E1 E2 EΔ c " 是 G 的一个最佳边 Δ 染色，则 c 必定不是正常染色。故存在顶点 u 满足c(u) < d(u) ，因而必有某两条在 u 点相邻的边染了同一种色。而且，因du G () ( ) ≤ Δ , 故 u 1 2 1 2 1 1 2

3 Δ 种色中必有某种色不在 u 上出现。显然 u 满足引理 6.1.2 的条件，因此 G 中有奇圈。这与 G 是二部图矛盾。证毕。注：也可按推论 3.3.3，二部图的边集可分解为 Δ(G) 个边不交的匹配，故 χ′() () G G = Δ 。定理 6.1.4 (Vizing 定理，1964) 设 G 是无环非空简单图，则 Δ(G) ≤ χ′(G) ≤ Δ(G) +1。证明：首先， χ′(G) ≥ Δ(G) (定义 6.1.3 的注（4）)。下证 χ′(G) ≤ Δ(G) +1(用反证法)。假如 χ′(G) > Δ(G) +1 ，令 ( , , , ) = E1 E2 EΔ+1 c " 是 G 的最佳 Δ +1 边染色。因 χ′ > Δ +1，故 c 必不是正常染色。设 u 是使c(u) < d(u) 的顶点。则必存在色 i0，i0 不在 u 处出现（因d(u) < Δ＋1），同时也存在色 i1，i1 至少在 u 处出现两次。设 uv 和 uv1 染有颜色 i1（如图）。因 ( ) 1 d v1 < Δ + ，故必有某种色 2 i 不在 v1 处出现。这样 2 i 必然在 u 处出现（否则，可用 2 i 给 uv1 重新染色，得到一个改进的 Δ＋1边染色，与 c 是最佳染色矛盾）。因此存在一条边 uv2 染有色 2 i 。又因 ( ) 1 d v2 < Δ + ，必有某种色 3i 不在 v2 处出现。 3i 必然在 u 处出现（理由同上）。因此存在一边 uv3 染有色 3i 。继续这个过程，可找出一个顶点序列v1, v2 ,", 以及一个颜色序列i 1,i2 ,", 使得边 uvj 染有颜色 ij，且色 ij+1 不在点 vj 处出现，（ j = 1,2,"）。而且，因c(u) < d(u) 且 d(u) 是有限数，故存在一个最小整数 m，使得对某个 k < m，有 im+1 = ik。现在，对1 ≤ j ≤ k −1, 用颜色 ij+1 给边 uvj 重新染色。这样产生一个新的( Δ＋1)边染色 ( , , , ) 1 2 Δ+1 C′ = E′ E′ " E′ 。显然对所有 v ∈V , c′(v) ≥ c(v) 。因此 c′ 也是 G 的一个最佳 (Δ +1) 边染色。由引理 6.1.2， [ ] 0 k G Ei Ei ′ ∪ ′ 中含有 u 的那个分支 H1 是个奇圈。 … u v v3 v2 v1 vk vk-1 vm i1 i1 i2 im ik-1 ik i3 … … … u v v3 v2 v1 vk vk-1 vm i1 i2 i3 im ikik i4 … … i0 i0 ik ik H1

而对k≤j≤m-1,用颜色+给w重新染色,而用颜色给mm重新染色,得到个(△+1)边染色c"=(E1,E2,…,EA1)。同理有c"(v)≥c(v)对所有v∈V成立。故由引理 612,GE"UE"]中含有n的分支H2是个奇圈但是,因v在H1中的度为2(恰与一条色边和一条色边相关联),故它在H2中的度为1(仅与一条i色边相关联)。这与H2是奇圈矛盾。(注意vk必在分支H2中,因它与 vk-1有o、交错路(H1的段)相连)。由此可知反证法假设不能成立。证毕对于有重边的图G,设(G)表示G中边的最大重数, Vizing实际上证明了一个更一般的结论:△(G)≤x(G)≤△(G)+(G) vizing定理提出了一个分类问题:使x'(G)=△(G)的简单图称为第一类图,使 x'(G)=Δ(G)+1的简单图G称为第二类图。确定一个图属于第一类还是第二类是很困难的,目前仅对少量的图类判明了它们所属的类。路、树、二部图、偶数阶完全图、轮图都是第一类图(轮图Wn是由一个点与长为n的圈上所有顶点相连形成的图),奇圈、奇数阶完全图都是第二类图(见有关定理和习题)。一般情况下判别一个图属于第几类图,尚没有好的充分必要判别条件,一些充分性判别条件见习题。第二类图相对较稀少。在υ≤6的143个连通简单图中仅有8个属于第二类;而Erd6s 和Wom(1970证明:im|c(y)=1,其中c()表示D阶第i类图的集合。这 →=|c1(v)Uc2(v) 表明当顶点数充分大时,几乎所有非空简单图都是第一类图已经知道存在最大度为2,3,4,5的第二类平面图,但 Vizing(1965)已证明:不存在最大度≥8的第二类平面图。目前尚不知道是否存在最大度为6或7的第二类平面图由 vizing定理,每个无环非空简单图G都是可(△+1)边可染色的。实际上,可以根据引理6.1.1和引理6.1.2给出求图G的正常(△+1)边染色的多项式时间算法。但是,求一般图G的边色数z(G)及其相应的正常边染色尚无多项式时间算法。事实上,已经证明这是一个NPC问题1。求二部图的边色数的一个多项式时间算法将在§64中介绍。有关边染色的更多内容可参看[3]。 2]1. Holyer, The NP-completeness of edge-coloring, SIAM J Computing, 10(1981), 718-720 3]S. Fiorini, and R.J. Wilson, Edge-colorings of graphs, Selected Topics in Graph Theory (eds. L W. Beineke, and R.J. Wilson), Academic Press, London, (1978)103-126

4 而对k ≤ j ≤ m −1，用颜色 ij+1 给 uvj重新染色，而用颜色 ik给 uvm重新染色，得到一个( Δ＋1)边染色 ( , , , ) 1 2 Δ+1 c′′ = E′′ E′′ " E′′ 。同理有c′′(v) ≥ c(v) 对所有v ∈V 成立。故由引理 6.1.2， [ ] 0 k G Ei Ei ′′ ∪ ′′ 中含有 u 的分支 H2 是个奇圈。但是，因 vk在 H1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik色边相关联），故它在 H2 中的度为 1（仅与一条 i0 色边相关联）。这与 H2 是奇圈矛盾。（注意 vk必在分支 H2 中，因它与 vk－1有 i0、ik交错路（ H1 的一段）相连）。由此可知反证法假设不能成立。证毕。对于有重边的图 G，设 μ(G)表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般的结论： Δ(G) ≤ χ′(G) ≤ Δ(G) + μ(G) 。 Vizing 定理提出了一个分类问题：使 χ′(G) = Δ(G) 的简单图称为第一类图，使 χ′(G) = Δ(G) +1的简单图 G 称为第二类图。确定一个图属于第一类还是第二类是很困难的，目前仅对少量的图类判明了它们所属的类。路、树、二部图、偶数阶完全图、轮图都是第一类图（轮图W1,n 是由一个点与长为 n 的圈上所有顶点相连形成的图），奇圈、奇数阶完全图都是第二类图(见有关定理和习题)。一般情况下判别一个图属于第几类图，尚没有好的充分必要判别条件，一些充分性判别条件见习题。第二类图相对较稀少。在υ ≤ 6 的 143 个连通简单图中仅有 8 个属于第二类；而 Erdös 和 Wilson(1977)已证明： 1 | ( ) ( ) | | ( ) | lim 1 2 1 = →∞ ν ν ν c c c v ∪ ，其中 ( ) i c υ 表示υ 阶第 i 类图的集合。这表明当顶点数充分大时，几乎所有非空简单图都是第一类图。已经知道存在最大度为 2，3，4，5 的第二类平面图，但 Vizing (1965)已证明：不存在最大度≥ 8 的第二类平面图。目前尚不知道是否存在最大度为 6 或 7 的第二类平面图。由 Vizing 定理，每个无环非空简单图 G 都是可（ Δ +1）边可染色的。实际上，可以根据引理 6.1.1 和引理 6.1.2 给出求图 G 的正常（ Δ +1）边染色的多项式时间算法。但是，求一般图 G 的边色数 χ′(G)及其相应的正常边染色尚无多项式时间算法。事实上，已经证明这是一个 NPC 问题[2]。求二部图的边色数的一个多项式时间算法将在§6.4 中介绍。有关边染色的更多内容可参看[3]。 [2] I. Holyer, The NP-completeness of edge-coloring, SIAM J. Computing, 10(1981), 718-720. [3] S. Fiorini, and R.J. Wilson, Edge-colorings of graphs, Selected Topics in Graph Theory (eds. L. W. Beineke, and R.J. Wilson), Academic Press, London, (1978) 103-126. … u v v3 v2 v1 vk vk-1 vm i1 i2 i3 im ikik＋1 i4 … … i0 i0 ik ik H2 ik

6 点染色理论的基本问题：给定图 G，确定 χ(G) 的值。目前，人们仅对某些特殊图类，确定出了计算 χ(G) 的公式。对一般图 G，得出了 χ(G) 的各种上下界。为了介绍有关结果，需要引入色临界图的概念。二、色临界图定义 6.2.4 设 χ(G) = k,(k ≥ 1) 。若对 G 的任何真子图 H，均有 χ(H) < k ，则称 G 是临界 k 色图（critical k-chromatic graph）. 注：临界 k 色图实际上就是 k 色极小子图，也就是说，它本身是 k 色的，但任意删去一个顶点或一条边后色数就会减少。按色临界图的概念容易知道下列结论成立 z χ(G) ≥ 3 ⇔ G 含有奇圈。 z G 是临界 1 色图⇔ G ≅ K1； z G 是临界 2 色图⇔ G ≅ K2 ； z G 是临界 3 色图⇔G 是奇圈；此外，容易证明：（1）任何 k 色图都包含临界 k 色子图；（2）每个色临界图都是连通的简单图。（留作习题）。定理 6.2.1 色临界图的顶点割集不是团。证明（反证法）：假设图 G 是一个临界 k 色图，但有一个点割集 S 是团。记G \ S 的连通分支为G G Gn , , , 1 2 " 。将G[S]按 G 中的连接方式分别与G G Gn , , , 1 2 " 相连，得到子图 G G Gn ′, ′, , ′ 1 2 " 。示例:图 G 及点割集 S={u,v} 1 2 3 G′, G′, G′ 因 G 是 k 色临界的，故每个Gi ′是 k－1 色可染的。由于 S 是团，所以 S 中各个顶点在Gi ′ 的任何 k－1 染色中必染到相异的色。我们总可以调整各Gi ′中颜色的编号，使得 S 中每一个顶点在各Gi ′中染相同的色。这些Gi ′的染色合在一起便形成 G 的一个 k－1 染色。这与 G 是临界 k 色图矛盾。证毕。推论 6.2.1 每个色临界图都是块（即不含割点，亦即 2 连通）。证明：假如某临界图不是块，则它有割点。这个割点构成一个团，与定理 6.2.1 矛盾。证毕。下一个推论是显然的。推论 6.2.2 若临界 k 色图 G 有 2 顶点割集{u, v}，则 u 与 v 不相邻。 u v u v u v u v

定理62.3对任何简单图G,z(G)≤△(G)+1。证明:设z(G)=k,且H是G的临界k色子图,由推论6.23,(H)≥k-1。故 △(G)≥△(H)≥(H)≥k-1=x(G)-1。证毕。定理623给出的上界是可以达到的,例如奇圈和完全图的色数恰好等于它们的最大度加1。下面来证明,达到这个上界的连通简单图只有这两类图。定理62.4( Brooks,1941)设G是连通的简单图,且G既不是奇圈又不是完全图,则 x(G)≤△(G)。证明:设G是满足定理条件的k色图 Casel G本身是临界k色的。由推论621,G是一个块。又由于临界1色图和临界2色图是完全图,而临界3色图是奇圈,故k≥4。由推论623,O(G)≥3 如果G是3连通的,则因G不是完全图,故必存在顶点x,y,=∈V(G),使得xE(G) 而x,yz∈E(G),并且G-{x,y}连通。如果G的连通度为2,则G中存在一点z,使得 G-{}有割点且连通,此时G一{}至少有两个连通块只含1个割点(见第二章习题),设 B1、B2为这样两个块因G本身2连通且无割点,故B1、B2均有点在G中与z相邻。设x∈B1 和y∈B2是两个与z相邻的点。由于x1和x2在不同的块中,因此它们在G-{-}中不相邻, 因而在G中也不相邻,且因dQ(=)≥δ(G)≥3,G-{x,y}连通。总之,必存在顶点x,y,∈V(G),使得xygE(G),x,y2∈E(G)且G-{x,y}连通。给G的顶点重新编号:首先x1=x,x2=y,然后对G′=G\{x,y中的顶点,按G"中到的距离由远及近的次序依次用x3,x4…,x编号,即:dG(x1,)≥d(x+1,=), (i=3,4,…,U),(注意G仍连通)。 (x1) >(x2)x7 因此x=2,且对每个=1,2,…U-1,必存在j>i使得xx∈E(G)。由此可知, 对每个i=1,2,…,U-1,x与{x1,x2,…,x21}中最多△(G)-1个顶点相邻(因与x相邻的至少有一个顶点的下标>1),且因d(z)≥o(G)≥3,故x-1x∈E(G)。这样一来,可用△(G)种颜色给顶点进行染色:将x1和x2染色1,然后按颜色12,…,Δ 的顺序依次给x3,x4,…,x进行染色,使相邻两点染不同的色。染法为: 设x1,…,x1已染好,考虑x,(3≤i≤U-1)由于x仅与x1,…,x1中最多△(G)-1 个顶点相邻,所以1,2,…,Δ种颜色中至少有一种颜色a在N(x)∩{x1x2,…,xm1}中未

8 定理 6.2.3 对任何简单图 G， χ(G) ≤ Δ(G) +1。证明：设 χ(G) = k ,且 H 是 G 的临界 k 色子图，由推论 6.2.3， δ (H) ≥ k −1 。故 Δ(G) ≥ Δ(H) ≥ δ (H) ≥ k −1 = χ(G) −1。证毕。定理 6.2.3 给出的上界是可以达到的，例如奇圈和完全图的色数恰好等于它们的最大度加 1。下面来证明，达到这个上界的连通简单图只有这两类图。定理 6.2.4 (Brooks，1941) 设 G 是连通的简单图，且 G 既不是奇圈又不是完全图，则 χ(G) ≤ Δ(G) 。证明：设 G 是满足定理条件的 k 色图。 Case1. G 本身是临界 k 色的。由推论 6.2.1，G 是一个块。又由于临界 1 色图和临界 2 色图是完全图，而临界 3 色图是奇圈，故k ≥ 4 。由推论 6.2.3，δ (G) 3 ≥ 。如果 G 是 3 连通的，则因 G 不是完全图，故必存在顶点 x, y,z ∈V(G) ,使得 xy ∉ E(G) , 而 xz, yz ∈ E(G) ，并且G {, } − x y 连通。如果 G 的连通度为 2，则 G 中存在一点 z，使得 G {} − z 有割点且连通，此时G {} − z 至少有两个连通块只含 1 个割点（见第二章习题），设 B1、B2 为这样两个块。因 G 本身 2 连通且无割点，故 B1、B2 均有点在 G 中与 z 相邻。设 B1 x ∈ 和 B2 y ∈ 是两个与 z 相邻的点。由于 x1 和 x2在不同的块中，因此它们在G {} − z 中不相邻，因而在 G 中也不相邻，且因 () ( ) 3 G dz G ≥ ≥ δ ，G {, } − x y 连通。总之，必存在顶点 x, y,z ∈V(G) ,使得 xy ∉ E(G) , xz, yz ∈ E(G) 且G {, } − x y 连通。给 G 的顶点重新编号：首先 x = x x = y 1 2 , ,然后对G′ = G \ {x, y}中的顶点，按G′中到 z 的距离由远及近的次序依次用 3 4 x ,,, x x " υ 编号，即： ( , ) ( , ) 1 d x z d x z G′ i ≥ G′ i+ , (i = 3, 4, , " υ ),（注意G′仍连通）。因此 x z υ = ，且对每个i = − 1, 2, , 1 " υ , 必存在 j > i 使得 ( ) i j x x EG ∈ 。由此可知，对每个i = − 1, 2, , 1 " υ ， i x 与{ , , , } 1 2 i−1 x x " x 中最多 Δ(G) −1个顶点相邻（因与 i x 相邻的至少有一个顶点的下标> i ），且因d(z) ≥ δ (G) ≥ 3, 故 1 x x EG( ) υ υ − ∈ 。这样一来，可用 Δ(G) 种颜色给顶点进行染色：将 x1和 x2 染色 1，然后按颜色1，2，"，Δ 的顺序依次给 3 4 x ,,, x x " υ 进行染色，使相邻两点染不同的色。染法为：设 1 1 , , i− x " x 已染好，考虑 xi , ( 3 1 ≤ i ≤ − υ )。由于 xi 仅与 1 1 , , i− x " x 中最多 Δ(G) −1 个顶点相邻，所以1，2，"，Δ 种颜色中至少有一种颜色α 在 ( ) { , , , } i 1 2 i−1 N x ∩ x x " x 中未 (x1) x7 x6 x5 x4 x3 (x2) z x9 x y x x8 10

曾用过,因此可给点x染以颜色a。因x,(=2)既与x1又与x2相邻,且x1和x2染的色相同所以Δ种色中同样也有一种色B在N(x)中未曾用过,(因d(x)≤Δ,而x的邻点中已有两点染同一种色,故△种色不会全在N(x)中出现)。因此可给x染以色β 如此便得图G的一个正常△-染色,即有:x(G)≤△(G) Case2.G不是k色临界的。此时取G的一个临界k色子图H (1)若H是完全图,则H=Kk,从而 (G)=x(H)=k=(k-1)+1=△(H)+1≤△(G)(G中有不属于H的边和点); (2)若H是一个奇圈,则(G)=(H)=3≤△(G)(G中至少有一条不属于H的边)。 (3)若H既不是完全图,也不是奇圈,则由 Casel的证明可知x(H)≤△(H)≤△(G), 从而x(G)=k=x(H)≤△(G)。证毕。例6.2.1求 Peterson图的色数。解:因 Peterson图G含有奇圈,故不是二部图,因而x(G)≥3 另一方面,G既不是奇圈又不是完全图,且△(G)=3 故(G)≤△G)=3。因此,x(G)=3。虽然奇圈和完全图可以达到定理623提供的色数上界△(G)+1,但某些图类的色数这个上界相差很远,比如星图K1n的色数为2,△(Kn)+1=n+1。下面给出的几个上界在某种程度上是对定理62.3的改进。定理625设连通简单图G的度序列为d1≥d2≥…≥dn,则 x(G)≤1+ max min(a,i-1} 证明:将G的所有顶点按度的递减(不增)顺序排序,设为v1,"2…,V。从v开始依次给顶点染色。在第i次染色时,用v;的邻点尚未使用的颜色中色号最小的颜色给v染色(事先对使用的颜色编号),(i=1,2,…,U)。由于对v染色时,下标比i大的顶点尚未染色,而下标小于i的顶点中与v相邻的顶点不超过mind1,i-1}个,因此以使用的颜色数也不会超过min{d,i-1},从而按染色规则,对v染色使用的颜色编号不会超过min{d,-1}+1。时。这个结论对所有i=1,2,…,U都成立。因此将G的所有顶点全部染色使用的颜色不会超过 max min{d2,i-1}+1种。证毕定理625对任何图G,(G)≤1+max(H)。证明:对于空图,结论显然成立。因此可设(G)=k≥2。取G的一个临界k色子图H,则(H0)≤maxd(H)。由推论61.3

9 曾用过，因此可给点 i x 染以颜色α 。因 xυ (=z)既与 x1 又与 x2 相邻，且 x1 和 x2 染的色相同，所以 Δ 种色中同样也有一种色 β 在 N x( υ )中未曾用过，（因 d x( ) υ ≤ Δ ，而 xυ 的邻点中已有两点染同一种色，故 Δ 种色不会全在 N x( ) υ 中出现）。因此可给 xυ 染以色 β 。如此便得图 G 的一个正常 Δ -染色，即有： χ(G) ≤ Δ(G) 。 Case2. G 不是 k 色临界的。此时取 G 的一个临界 k 色子图 H。 (1) 若 H 是完全图，则 H＝ Kk ，从而 χ(G) = χ(H) = k = (k −1) +1 = Δ(H) +1 ≤ Δ(G)（G 中有不属于 H 的边和点）； (2) 若 H 是一个奇圈，则 χ(G) = χ(H ) = 3 ≤ Δ(G)（G 中至少有一条不属于 H 的边）。 (3) 若 H 既不是完全图，也不是奇圈，则由 Case1 的证明可知 χ(H) ≤ Δ(H) ≤ Δ(G) ，从而 χ(G) = k = χ(H) ≤ Δ(G) 。证毕。例 6.2.1 求 Peterson 图的色数。解：因 Peterson 图 G 含有奇圈，故不是二部图，因而 χ(G) ≥ 3；另一方面， G 既不是奇圈又不是完全图，且 Δ(G) = 3, 故 χ(G) ≤ Δ(G) = 3。因此， χ(G) = 3。虽然奇圈和完全图可以达到定理 6.2.3 提供的色数上界 Δ()1 G + ，但某些图类的色数与这个上界相差很远，比如星图 K1,n 的色数为 2， 1, (K ) 1 n Δ + = n +1。下面给出的几个上界在某种程度上是对定理 6.2.3 的改进。定理 6.2.5 设连通简单图 G 的度序列为 1 2 dd d ≥ ≥≥ " υ ，则 (G) 1 max min{ , 1} i i χ ≤ + − d i 证明：将 G 的所有顶点按度的递减（不增）顺序排序，设为 1 2 vv v ,,, " υ 。从 v1 开始依次给顶点染色。在第 i 次染色时，用 vi 的邻点尚未使用的颜色中色号最小的颜色给 vi 染色（事先对使用的颜色编号），( 1, 2, , ) i = " υ 。由于对 vi 染色时，下标比 i 大的顶点尚未染色，而下标小于 i 的顶点中与 vi 相邻的顶点不超过 min{ , 1} i d i − 个，因此以使用的颜色数也不会超过 min{ , 1} i d i − ，从而按染色规则，对 vi 染色使用的颜色编号不会超过 min{ , 1} i d i − +1。时。这个结论对所有i = 1, 2, , " υ 都成立。因此将 G 的所有顶点全部染色使用的颜色不会超过 max min{ , 1} 1 i i d i − + 种。证毕。定理 6.2.5 对任何图 G， H G χ(G) 1 max (H) δ ⊆ ≤ + 。证明：对于空图，结论显然成立。因此可设 χ(G) 2 = k ≥ 。取 G 的一个临界 k 色子图 H0，则 0 H G δ (H ) max (H) δ ⊆ ≤ 。由推论 6.1.3， 1 1 3 3 2 2 3 1 1 2

10 0 0 H G χ(G) (H ) 1 (H ) 1 max (H) χδ δ k ⊆ = = ≤+ ≤+ 。证毕。定理 6.2.6 用l(G) 表示图 G 中最长路的长度，则 χ(G) 1 (G) ≤ + l 。证明：结论对于空图显然成立。因此可设 χ(G) 2 = k ≥ 。取 G 的一个临界 k 色子图 H，由推论 6.2.3，则δ (H) 1 ≥ − k 。用最长路方法不难证明， H 中有长为δ (H) 的路。因此l(G) ≥ ≥− δ (H) 1 k 。从而 χ(G) 1 (G) = k l ≤ + 。证毕。关于色数的下界有如下定理。定理 6.2.7 对任何图 G， 2 2 (G) 1 ε χ υ ⎡ ⎤ ≥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 证明：设 G 的色数是 k，则有V (G) 的一种划分： ( , , , ) π = V1 V2 " Vk ，其中Vi ∩Vj = φ ， ( ) 1 V V G k i i = = ∪ ，且每个Vi 是非空的独立集(i = 1,2,", k)。按分组 1 2 ,,, VV V " k 的次序将 G 的所有顶点依次编号后，其邻接矩阵可写为如下分块形式 11 12 1 21 22 2 1 2 A(G) k k k k kk AA A AA A AA A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " " """ " 其中主对角线上每个 Aii 都是零矩阵。设| | V p i i = ，则矩阵 A(G)中至少有 2 1 k i i p = ∑ 个零元素。另一方面，A(G)共有 2 υ 个元素但 G 只有ε 条边。由邻接矩阵的对称性，ε 条边在 A(G) 中形成 2ε 各非零元素，故 A(G)中零元素的个数应为 2 υ − 2ε 个。由以上两方面，有 2 υ − 2ε ≥ 2 1 k i i p = ∑ 。利用柯西不等式 22 2 11 1 ( )( ) ( ) kk k i i ii ii i a b ab == = ∑∑ ∑≥ ，有 k ⋅ 2 1 k i i p = ∑ ≥ 2 2 1 ( ) k i i p υ = ∑ = 。从而 2 υ − 2ε ≥ 2 k υ 。由此解得 2 2 k 1 ε υ ≥ + ，即 2 2 (G) 1 ε χ υ ⎡ ⎤ ≥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 。证毕。图的色数与独立集和团有关。利用一个图的独立数和团数，可以获得其色数的上下界。定理 6.2.8 对任何图 G，有（1）χ(G) (G) 1 +α υ≤ + ，（2）χ(G) (G) ⋅α υ≥ 。（α(G) 是 G 的点独立数）证明：（1）设 I 是 G 的一个最大点独立集，则 | I | =α(G) 。给 I 中的点染上一种颜色，G 中其余υ −α(G)个顶点每点染一种不同的颜色，这样得到 G 的一个υ −α(G) 1 + 种颜色的正常染色，因此 χ(G) (G) 1 ≤− + υ α 。（2）设 χ(G) = k 。按定义，V(G)可划分为 k 个非空独立集 1 2 ,,, VV V " k ，则 (G) | | α ≥ Vi ，i k = 1, 2, , " 。从而 1 () | | k i i kG V α υ = ≥ = ∑ ，即 χ(G) (G) ⋅α υ≥

中科院研究生院专业基础课：《图论与网络流理论》第六章 染色理论（高随祥）

中科院研究生院专业基础课：《图论与网络流理论》第六章染色理论（高随祥）