中南大学：《大学数学》课程教学资源（微积分案例题解）练习二

练习22(1) 二。2 ∥=44 y-型: ≤x≤√y,1≤y≤2 =式 2 x-型:1≤y≤2x2,√2 x≤1 01 2 x2≤y≤2,1≤x≤√2 =d∫/(x,y)d 5i dxh f(x, y)dy+hdx-2f(x,y)dy 2 K心

练习2.2(1) 二. 2. o x y 2 y = x 2 y = 2x 21 1 2 y −型: , 1  y  2 2 x y y   x −型: 1 21  x  1  x  2 1 2 , 2  y  x2, 2 x  y   =   yy I dy f x y dx 2 21 ( , ) =   +   2 2 1 21 121 2 2 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy

三.3 xt y x+y=1 x十 J 1+x y 十dr x+y e-e K心

三. 3. o x y x + y = 1 x − y = 1 − x + y = 1 x + y = − 1   + − − + − = xx x y I dx e dy 1 1 0 1   −− + + x x x y dx e dy 1 1 10 . − 1 = e − e

四.记D:a≤x≤b,a≤y≤b b f∫(x)d dx=lf(x)dx f() df()a 小y f(x) a f(r) b b b 1 f(x)x∫ d=f(y)小y F(y)dxdy af(r) a f(r) D(r) b b 1 f(y) f(r) dxdy af(r) 2 D ∫(y),f(x)≥】2akd=(b-a2 2DL∫(x)f(y) K心

四. 记D : a  x  b,a  y  b.   =   =  D b a b a b a b a dxdy f y f x dy f y dx f x dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )   =   =  D b a b a b a b a dxdy f x f y dx f x dx f y dy f x f x dx ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )         =  +  D D b a b a dxdy f y f x dxdy f x f y dx f x f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 ( )        = + D dxdy f y f x f x f y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1   D 2dxdy 2 1 ( ) . 2 = b − a

五.记F(x)=nf(x),则F(x)=f(x) F(1)=n∫(x)dx=A,F(0)=0, Sdxf f(x)f(ydy=5o f(x dxf f(y)dy Sof()F(1)-F(x)ldx F(ilof()dx Jof(x)F(x)dx =42-51P(x)F(x)t=42-1F(x)dF(x) =A2-F2(x)= (1) 2 A A2 2 K心

五. ( ) ( ) , 0 =  x 记F x f x dx 则F(x) = f (x), (1) ( ) , 1 0 F =  f x dx = A F(0) = 0,   =   1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x x dx f x f y dy f x dx f y dy =  − 1 0 f (x)[F(1) F(x)]dx =  −  1 0 1 0 F(1) f (x)dx f (x)F(x)dx  = −  1 0 2 A F (x)F(x)dx = −  1 0 2 A F(x)dF(x) 1 0 2 2 ( ) 2 1 = A − F x (1) 2 2 1 2 = A − F . 2 1 2 2 1 2 2 = A − A = A

练习22(2) 0 元 6≤ 元 2 2 I=∫(x2+p2)d-∫(x2+y2 正方形 半圆形 , dx(x2+y2)dy-J2 d0 f /2rdr 2 K心

练习2.2(2) 三. 2. o x y1− 1 − 2 =  + −  + 正方形 半圆形 I (x y )dxdy (x y )dxdy 2 2 2 2   − − = + 11 0 2 2 2 dx (x y )dy −   10 2 232 d r rdr    四. o x y . 2 2  −  

练习24 四.Ω由z= r t y z=1,z=2围成 2 l≤z≤2, 2 D·:x2+ 2∠2 原式=(x2+y2) =JJ dorv2z 2 r3 K心

练习2.4 四. , 1, 2 , 2 2 2 由 = = 围成 +  = z z x y z x y zo12 1  z  2 , : 2 . 2 2 D x y z z +  =   + Dz dz (x y )dxdy 2 2 2 原式 1 =  Dz z e dz r drd 2 3 1 =    = z dz d r dr 2 0 2 3 0 21  

练习25 1.直角坐标下的三次积分 2 +y2≤z≤2 1-xsJ≤-4 -1<x<1 2.柱面坐标下的三次积分 r2≤z≤√2 0<r≤1 P2丌 0≤6≤2兀 delrdi K心

练习2.5 二. x y z o 2 1 1. 直角坐标下的三次积分  : −1  x  1. 1 1 , 2 2 − − x  y  − x 2 , 2 2 2 2 x + y  z  − x − y 2. 柱面坐标下的三次积分  : 0    2 . 0  r  1, 2 , 2 2 r  z  − r . 2 2 1 2 2 0 2 0    −  = r r I d rdr z dz  

3.球面坐标下的三次积分 Q=S21 Q1+ 0≤P≤√2 0≤q≤,0≤6≤2z 0≤p cos < SIn 兀∠中2 0≤6≤2兀 I=o dea dpo p*sin p cos pdp cos + delidqsin pp sin p cos*pdp. K心

3. 球面坐标下的三次积分 x y z o 2 1  = 1 + 2 : 1 , 0    2 . 4 0     0    2, : 2 0    2 . , 4 2      , sin cos 0 2      =    2 0 4 2 4 0 2 0    sin cos     I d d d sin cos . 2 sin cos 0 4 2 2 4 2 0 +         d d   d

三.2.投影区域如图所示, 利用柱面坐标来计算, :0≤z≤1, 0≤r≤2cosb, 元 6<0. 原式=∫z,r: rdrd edz cost de K心

三. 2. o x y 1 -1 投影区域如图所示, 利用柱面坐标来计算,  : 0. 2 −     0  r  2cos , 0  z  1,   原式 = zr rdrddz =    = − 1 0 2cos 0 0 2 2 d r dr zdz   

练习26 x=arcos 二,3 y=sing cos 0 -rsin 0 J(r,6)= sino rcos 8 边界曲线方程变为:r+2acos6=0 3元 D={(,0)0Sr≤-2ac00,≤0≤} 2 2 原式=』rore D 3兀 acos e =2d0 dr 2 K心

练习2.6 二. 3.  == +   sin cos y r x a r 令 r rr J r = − =      sin cos cos sin ( , ) 边界曲线方程变为: r + 2acos  = 0 } 23 2 {( , )| 0 2 cos ,    D = r   r  − a      =  D 原式 r rdrd =   =  −    2 cos 0 2 232 a d r dr