Chapter 3(1) 积分
Chapter 3(1) 广义积分
八气 教学要求: 1.了解广义积分的概念,并会计算广义积分 K
教学要求： 1. 了解广义积分的概念, 并会计算广义积分
无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 K
一 .无穷限的广义积分 二.无界函数的广义积分
无穷限的广义积分 b 其形式有: f(x)dc f(x)dt,」~f(x)dx 定义1:设函数f(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>a,如果极限mf(x)存在,则称此极 b→+0a 限为函数∫(x)在无穷区间[a,+o)上的广义积 分,记作f(x) ∫nf(x)d=imnf(x)d b→)+ 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散
一、无穷限的广义积分 ( ) , ( ) , ( ) , + − − + f x dx f x dx f x dx b 其形式有 a : 定义 1: 设函数 f (x)在区间[a,+)上连续，取 b a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx 存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
定义2:设函数∫(x)在区间(-∞,b上连续,取 a<b,如果极限imf(x)存在,则称此极 a→-0 限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b上的广义积 b 分,记作f(x)x To f(x)dx= lim So/(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 K
定 义 2:设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a b，如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b]上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
定义3:设函数∫(x)在区间(0,+0)上连续,如 果广义积分。f(x)和∫∫(x)都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (-∞+)上的广义积分,记作」。f(x)d Tm f(x)dx= f(x)dx +sf(x)dx lim f(x)dx+ lim Jo f(x)dx a→-0 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散
定 义 3:设函数 f (x)在区间(−,+) 上连续,如 果广义积分− 0 f (x)dx和 + 0 f (x)dx都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx . + − f (x)dx − = 0 f (x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
ex1.计算。a x(x+15) Solution ar b d 5x(x+15)b-)+∞5x(x+15) b1 m b→>+∞515xx+15 lim Iunx-In(x+15)1k b→+∞15 b 5 2 lim=(In In) In 2 b→+∞15 b+152015
. ( 15) 1. 5 + x x + dx ex 计算 Solution. + = + + →+ b b x x dx x x dx 5 5 ( 15) lim ( 15) dx x x b b + = − →+ 5 ) 15 1 1 ( 15 1 lim b b x x 5 [ln ln( 15)] 15 1 = lim − + →+ ln 2 15 2 ) 20 5 ln 15 (ln 15 1 lim − = + = →+ b b b
ex2.计算x"e-d(m为自然数) Solution. T"e-xdx= lim x"d(e-x b→+o n-1 exo+nlex b→>+ b +nlxn-dG-e-x b-)+∞ b limn(n-1)… b→>+ o(-e) limn(n-1)…1(-e--)10=n b→)+
2. ( ). ex 计算 0 x n e − x dx n为自然数 + Solution. x e dx + n −x 0 lim ( ) 0 b n x b x d e − →+ = − ( e x n e x dx) x n b b x n b 1 0 0 lim − − − →+ = − + = = − + − − − →+ lim ( ) 0 b n 1 x b n b n x d e e b lim ( 1) 1 ( ) 0 b x b n n d e − →+ = − − lim ( 1) 1( ) | ! n n e 0 n x b b = − − = − →+
ex3,证明广,当p>时收敛当时发散.K图圆 P Proy当=时4D= bdr m m nx xb→+0yb→+∞ Inb=+oo b→+ b dx P 关则,rb→+1xDb+∞1-P ●● lim b1p-11 b-p li +im o1一 lb→+∞1 当n>1时,4=1 当p<l时, + dx P 当p1时,原积分收敛;当≤1时,原积分发散
3. , 1 , 1 . 1 + 证明 当p 时收敛 当p 时发散 x dx ex p Proof. + + = = 1 1 1 , x dx x dx p 当 时 p →+ = b b x dx 1 lim b b x 1 lim ln | →+ = = = + →+ b b lim ln b p b p x 1 1 | 1 lim − = − →+ p b p b − − = − →+ 1 1 lim 1 p b p p b − + − = − →+ 1 lim 1 1 1 , 1 1 1 , 1 + − = x p dx p 当 时 p + = + 1 1 , p x dx 当p 时 ∴当p>1时，原积分收敛；当p≤1时，原积分发散. →+ + = b p b p x dx x dx p 1 1 当 1时, lim
dx ex4.计算广义积分 dx 0 Solution 十 1+x2J∞1+x2J01+x2 m .2 dr+lim s d x a→ a1+x lim larctanx lim larctanx b lim arctan a + lim arctan b b 2)2
ex4. 计算广义积分 . 1 2 + − + x dx Solution. + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − −