中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter1（4）复合函数微分法

Chapter 1(4 复合函数微分法

Chapter 1(4) 复合函数微分法

教学要求: 1.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法 Kp

教学要求： 1. 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法

阶偏导数 高阶偏导数 阶全微分形式不变性 K心

一 .一阶偏导数 二.高阶偏导数 三.一阶全微分形式不变性

阶偏导数 定理.若()=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)可偏导; (2)z=f(u,)在相应点(un,v)有连续偏导 则z=∫u(x,y),v(x,y)在(x,y)可偏导,且 azaz Ou az av L U 2) ax au ax ay ax azaz au az av ay au ay av Oy =Ui 5i\vy 注意:(1)z=∫(u,v)仅有偏导,定理失效 (2)z=f(u,ν)有连续偏导,可减弱到可微 K心

一 .一阶偏导数 定理. 则 在 可偏导 且 在相应点 有连续偏导 若 在点 可偏导 [ ( , ), ( , )] ( , ) , (2) ( , ) ( , ) (1) ( , ), ( , ) ( , ) ; z f u x y v x y x y z f u v u v u u x y v v x y x y = = = = ( ) ( )         =        +      =         =        +      =   y y x x v u f f y v v z y u u z y z v u f f x v v z x u u z x z 1 2 1 2 注意: (1)z = f (u, v)仅有偏导,定理失效. (2)z = f (u, v)有连续偏导,可减弱到可微

(3)利用公式计算复合函数的偏导数时,首先要搞清 楚函数的复合过程,哪个是自变量,哪个是中间 变量,通常用树枝图表示 xyxy (4)对自变量求偏导数时,先要经过一切有关的中间 变量,最后归结到自变量 其它情形讨论如下 K心

(3) 利用公式计算复合函数的偏导数时，首先要搞清 楚函数的复合过程, 哪个是自变量，哪个是中间 变量，通常用树枝图表示. z u v x y x y (4) 对自变量求偏导数时，先要经过一切有关的中间 变量， 最后归结到自变量. 其它情形讨论如下：

()z=f(u,v,w),u=p(x, D),v=y(x,y),w=a(x, y) az af au af av af aw xyxyxy ax au ax av ax aw ax au ay aw aaaaa az af au, af av, af aw au y ay Ou ay Ov ay aw ay ay Ou av Ow) ay K心心 ay

(1)z = f (u, v,w),u =(x, y),v =(x, y),w =(x, y) z u v w x y x y x y x w w f x v v f x u u f x z      +      +      =   y w w f y v v f y u u f y z      +      +      =                                     = x w x v x u w f v f u f                                   = y w y v y u w f v f u f

(2)z=f(u,x,D),u=o(x,y) au af af af ax y 0 J 区 az af au, af az af ou, pf ax au ax ax 别类似 两者的区别 把z=f(u,x,y) 把复合函数乙=fq(x,p)x,y中中的及y看作不 的y看作不变而对x的偏导数而对x的偏导数 K心

(2)z = f (u, x, y), u = (x, y) z uxy xy, xf xu uf xz  +   =  . yf yu uf yz  +   =  把复合函数z = f [(x, y), x, y]中 的 y看作不变而对x 的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 两者的区别 区别类似          01xu yf xf uf

(3)z=f(u),u=p(x, y) 2-<ya az df au az df ou x du ax ay du ay (4)z=f(,v),L=g(x),v=y(x) L dx au dx av dx (5)z=f(l2y,w),l=q(t),v=v(t),=O( L dz af du, af dv af dw t dt au dt av dt aw dt K心

(3)z = f (u),u =(x, y) z u x y x u du df x z   =    y u du df y z   =    z u v x x dx dv v f dx du u f dx dz     +   = (4)z = f (u, v),u =(x),v =(x) (5)z = f (u, v,w),u =(t),v =(t),w =(t) z u v w t t t dt dw w f dt dv v f dt du u f dt dz     +    +   =

(6)z=f(u2x),u=(x) dz af du, af dx au dx ax (7)z=f(u,v,D),u=q(),v=y(t c-t dz af du af dv af 十 dt au dt av dt at 注意:当函数复合后,最终的自变量只有一个时求全导, 其它情况都得求偏导。 为了记法上方便,常用以下记号: 作=1,82f(u)=用1=f21 af(u,v) aau K心

z u v t t t t f dt dv v f dt du u f dt dz    +    +   = 注意:当函数复合后, 最终的自变量只有一个时求全导, 其它情况都得求偏导。 为了记法上方便，常用以下记号： (6)z = f (u, x),u =(x) z u x x x f dx du u f dx dz    +   = (7)z = f (u, v,t),u =(t),v =(t) , ( , ) 1 1 f f u f u v =  =   ( , ) 21 21 2 f f v u f u v =  =   

e1设n=F(,y,z,xz=/f(,p,y=9(x)求如 dx Solution z du_aF,af dy aF(aafdy dx Ox ay dx az(ax ay dx =Fi+ F2o+F3f+ F352 K心

1. ( , , ), ( , ), ( ), . dx du ex 设u = F x y z z = f x y y =  x 求 Solution. u xyz xyx x     +    +  +  = dx dy yf xf zF dx dy yF xF dx du =  +  +   +   1 2 3 1 3 2 F F F f F f