Chapter 4(2 第二类曲线积分
Chapter 4(2) 第二类曲线积分
教学要求: 1.理解型对坐标的)曲线积分的概念和性质; 2.了解两类曲线积分的关系; 3.掌握计算I型曲线积分的方法; 4.了解型曲线积分的应用 K心
教学要求： 1. 理解II型(对坐标的)曲线积分的概念和性质; 2. 了解两类曲线积分的关系; 3. 掌握计算II型曲线积分的方法; 4. 了解II型曲线积分的应用
一A数叹一…一一 一.引例与概念 性质 三对坐标的曲线积分的计算 四.对坐标的曲线积分的应用 五两类曲线积分之间的关系 K心
一 .引例与概念 二.性质 三.对坐标的曲线积分的计算 五.两类曲线积分之间的关系 四.对坐标的曲线积分的应用
引例与概念 实例:变力沿曲线所作的功 考虑质点在F(x,y)=P(x,y)+Q(x,y)作用下,沿 xoy面上光滑曲线弧L由A移至B,求F所作的功 分割A=M0,M1(x1,n B F(S,ni) M Mm-(xn-1,ym-1),Mn=B y LM Z M1=1M1=(△x1)i+(4y) M 取F(1,m2)=P(511)+Q(41,m;),0 △W≈F(5,m1)·M1M1, 即△W2≈P(5,m)x1+Q(5;,)AJ K心
一 .引例与概念 实例: 变力沿曲线所作的功 , . ( , ) ( , ) ( , ) , 面上光滑曲线弧 由 移至 求 所作的功 考虑质点在 作用下 沿 xoy L A B F F x y P x y i Q x y j = + o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 xi i y 分割 ( , ), . , ( , ), , 1 1 1 0 1 1 1 M x y M B A M M x y n n n n = = − − − ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + ( , ) F i i F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y
求和W ∑ △W 近似值 i=1 ≈∑P(5,m)△x2+Q(51,m)Ay 取极限W=Iim∑IP(5,m)Ax1+Q(5,m)△y →0 i=1 精确值 定义:设L为xoy面上从到B的有向光滑曲线弧, P(x,y,Q(x,y)在L上有界 (1)任意分L成n个有向小弧段M1M2(i=1,…,n) =x;-x, i-1 △ Vi= Vi-vi K心
求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 近似值 精确值 = = n i W Wi 1 定义: ( , ), ( , ) . , 在 上有界 设 为 面上从 到 的有向光滑曲线弧 P x y Q x y L L xoy A B (1) ( 1, , ), 任意分L成n个有向小弧段Mi−1Mi i = n , ; i = i − i−1 i = i − i−1 x x x y y y
(2)v(5;,m)∈M=1M2 K心 作∑P(51,m7)Ax, y Q(i,mz)△y (3)记=max{M-1M的长度}, 10 im∑Q(51,mi)Ay ->0 都存在,则称()为P(x,y)在L上对坐标x的曲线积分; 称(*)为Q(x,y)在L上对坐标y的曲线积分
(2) ( , ) , i i Mi−1Mi ( , ) , ( , ) ; 1 1 = = n i i i i n i i i i 作 P x Q y (3) max{ }, 1 1 记 i i的长度 i n M − M = ,( , ) , 如果无论对L怎样的分划 i i 在Mi−1Mi上怎样的取法 lim ( , ) (*) 1 0 → = n i P i i xi 都存在,则称(*)为P(x, y)在L上对坐标 x的曲线积分; lim ( , ) (**) 1 0 → = n i i i i Q y 称(**)为Q(x, y)在L上对坐标 y的曲线积分
也称为第二类曲线积分或Ⅱ型曲线积分! 记为∫P(x,y)=lim∑P(5,m)△x L ->0 ∫Q(x,y)d=lim∑Q(5,n) ->0 L 注意: (1)存在性:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 (2)L P(x, y)dx+fex, y)dy=L, P(x, y)dx+@(x,y)dy (3)物理意义:变力沿曲线作功 K心
也称为第二类曲线积分或II型曲线积分! 记为 ( , ) lim ( , ) 1 0 → = = n i i i i L P x y dx P x ( , ) lim ( , ) 1 0 → = = n i i i i L Q x y dy Q y 注意: , . (1) : ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 存在性 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L (2) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . + = + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy (3) 物理意义: 变力沿曲线作功
W=F ds 其中F=P+Q,d=d+dy (4)△x;,y是弧M1M在x,y轴上的投影可正可负 (5)对于空间有向曲线弧r有 fP(x,y, z)dx+O(, J, a)dy+R(x,3, z)dz 「P(xy)dx=im∑P(5,m,A i=1 「(x,ya)d=lm∑Q65,m,与 「R(xy=m∑RG,n5)△ K心
. = L W F ds F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + (4) , , , . xi yi是弧Mi−1Mi在x y轴上的投影 可正可负 (5) 对于空间有向曲线弧 有 ( , , ) ( , , ) ( , , ) . P x y z dx + Q x y z dy + R x y z dz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
二.性质 1.,K,P(x, y)dx+k22(x, y)dy =kP(x,y)d+k2Q(x,y)小 2.如果把L分成L1和L2,则 +=Px+Q+,Pd+o小 3. L P(, y)dx+e(, y)dy=-, P(x,y)dx+e(x,y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 K心
二.性质 ( , ) ( , ) . 1. ( , ) ( , ) 1 2 1 2 = + + L L L k P x y dx k Q x y dy k P x y dx k Q x y dy . 2. , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 + = − + −L L 3. P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
三对坐标的曲线积分的计算 1.直接计算法 定理(1)设P(x,y),Q(x,y)在L上连续, (2)L的参数方程为 x=(t) y=v() (2y(t)具有一阶连续导数,且g2()+y2(t)≠0, (3)当t单调地由a变到时, 点M(x,y)由L的起点A沿L运动到B 则[Pdc+Qd TP (Plp K心
三.对坐标的曲线积分的计算 定理. (1)设P(x, y),Q(x, y)在L上连续, , ( ) ( ) (2) = = y t x t L 的参数方程为 ( ), ( ) , ( ) ( ) 0, 2 2 t t 具有一阶连续导数 且 t + t {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt. Pdx Qdy L = + + 则 1. 直接计算法 ( , ) . (3) , M x y L A L B t 点 由 的起点 沿 运动到 当 单调地由变到 时