Chapter 1( 偏导数的儿何应用
Chapter 1(6) 偏导数的几何应用
教学要求: 1.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线 的概念,会求它们的方程 K<DD
教学要求： 1. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线 的概念, 会求它们的方程
空间曲线的切线和法平面 二曲面的切平面和法线 K心
一 .空间曲线的切线和法平面 二.曲面的切平面和法线
空间曲线的切线和法平面 切线:曲线上过M点的割线的极限位置 法平面:曲线上过M0且与M处切线垂直的平面 x=p(t) 1设曲线y=y(1)(t为参数,求其切线和法平面方程 z=0(t) Solution.如图所示 M 设r=时有M0(x0,y,) =t0+△时有 M(x0+△x,y+△y,3+△z) K心
一.空间曲线的切线和法平面 : . 切线 曲线上过M0点的割线的极限位置 : . 法平面 曲线上过M0且与M0处切线垂直的平面 ( ), . ( ) ( ) ( ) 1.设曲线 t为参数 求其切线和法平面方程 z t y t x t === Solution. 如图所示 o x M0 M z Ty ( , , ) 0 0 0 0 0 设t = t 时有M x y z ( , , ) 0 0 0 0 M x x y y z z t t t + + + = + 时有
MM所在直线方程为 x-x0y-J0_-30 △ △ 从而不==2下由M→M时△→0 △t △t △t 则切线方程为x0=y-y0=x-列0 p(to) y(to) o(to) 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T=o'(to),y(to),o'(to) 法平面方程为 p(to)(x-x0)+y(to(y-yo)+o(to(z-z0)=0 K心
M0M所在直线方程为 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 t z z z t y y y t x x x − = − = 从而 − 0 0 0 由M → M0时t → 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 则切线方程为 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0. t0 x − x0 + t0 y − y0 + t0 z − z0 = 法平面方程为 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 )
x=x el求曲线y=g(x)在(x0,y,项)处的切线与法平面 y(x) Solution.以x为参数则T={1,y(xn),v(xn)3 切线方程为x-x0=y,1=2,2, Puo yox 法平面方程为x-x0+q(xn)(y-y)+vx)(z-0)=0 K心
( , , ) . ( ) 1. ( ) 求曲线 在 x0 y0 z0 处的切线与法平面 z x y x x x ex = = = Solution. , {1, , }, ( ) ( ) x0 x0 x T = 以 为参数 则 , ( ) 0 ( ) 0 0 x0 x0 y y z z x x − = − 切线方程为 − = ( ) ( ) 0. 法平面方程为 x − x0 +( x0 ) y − y0 + ( x0 ) z − z0 =
ex2求曲线2=2mx,2=m-x在(x0,y,)处的 切线及法平面方程 Solution x=1 x= y=∠mnv mT={1, 2 z = 2Z 故切线方程为x-x0=1=2-2 m/yo -1/2z0 法平面方程为(x-x0)+(y-y0)-(z-0)=0 2 0 K心
. 2. 2 , ( , , ) 0 0 0 2 2 切线及法平面方程 ex 求曲线y = mx z = m − x在 x y z 处的 Solution. = − = = z m x y mx x x 2 2 2 = − = = z z y m y x 2 1 1 } 2 1 {1, , 0 0 y z m T = − , / 1/ 2 0 0 0 0 0 z z z m y y y x x − − = − 故切线方程为 − = ( ) 0. 2 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 − 0 + − − z − z = z y y y m 法平面方程为 x x
2设曲线为 ∫F(x,y,z)=0 求其切线和法平面方程 G(x,y,z)=0 Solution.可选x为参数,得切向量为 T dz (x0,y,o) dx 0 可选y为参数,得切向量为 T= 09090 可选x为参数,得切向量为 T dx dz 050≤0 )a(x0,y0,z0) K心
, . ( , , ) 0 ( , , ) 0 2.设曲线为 求其切线和法平面方程 = = G x y z F x y z Solution. 可选x为参数, 得切向量为 {1, , } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dx dz dx dy T = 可选y为参数, 得切向量为 { ,1, } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dy dz dy dx T = 可选z为参数, 得切向量为 { , ,1} ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dz dy dz dx T =
a3求曲线{x2+2+2-6在,21处的切线 x+y+z=0 及法平面方程 2x+2yy+2z=0 Solution.…∵ 1+y+z'=0 将(1,2,1)代入得 「1-2y+z′=0 +y+z′=0 从而y=0,z=-1∴T={1,0,-1} 切线方程为 x-1y+2z-1 0 法平面方程为x-z=0 K心
求曲线 在(1, 2,1)处的切线 0 6 3. 2 2 2 − + + = + + = x y z x y z ex Solution. + + = + + = 1 0 2 2 2 0 y z x yy zz 将(1,−2,1)代入得 + + = − + = 1 0 1 2 0 y z y z 从而y = 0,z = −1 T = {1,0,−1} , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 切线方程为 法平面方程为 x − z = 0. 及法平面方程
二.曲面的切平面和法线 切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直 法线是与切平面垂直的直线 1设曲面为F(x,y,z)=0,求M0(x0,y0,)处的 切平面与法线 Solution 过M任取一曲线(在曲面上), x=o(t) 设为y=v() J z=(t) K心
二.曲面的切平面和法线 切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直. 法线是与切平面垂直的直线. 切平面与法线 设曲面为 求 处的 1. ( , , ) 0, ( , , ) 0 0 0 0 F x y z = M x y z Solution. n T M0 = = = ( ) ( ) ( ) ( ), 0 z t y t x t M 设为 过 任取一曲线 在曲面上