Chapter 2(2 二重积分的计算
Chapter 2(2) 二重积分的计算
教学要求: 1.掌握二重积分的计算方法 直角坐标、极坐标、对称性简化 K<DD
教学要求： 1. 掌握二重积分的计算方法—— 直角坐标、极坐标、对称性简化
在直角坐标下计算二重积分 在极坐标下计算二重积分 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 K心
一 .在直角坐标下计算二重积分 二.在极坐标下计算二重积分 三.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
在直角坐标下计算二重积分 设f(x,y)≥0,D:q1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b, 91(x),q2(x)连续求f(x,y)do Solution z=f(,y) 围成的立体为曲顶柱体 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法 -A(x) 则v=4(x)dty=2(x 其中A(x)为平行于yoz面的截面面积 y=p(x) 是一个曲边梯形,如图 K心
一 .在直角坐标下计算二重积分 ( , ) 0, : ( ) ( ), , 设f x y D 1 x y 2 x a x b ( ), ( ) , ( , ) . 1 2 D x x 连续 求 f x y d a x b z y x Solution. z = f (x, y) 围成的立体为曲顶柱体. A(x) ( ) 1 y = x ( ) y = 2 x 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法. = b a 则V A(x)dx 其中A(x)为平行于yoz面的截面面积 是一个曲边梯形，如图
∴A(x) q2(x) f(x,y)小 3=f(x,y) 1(x) ∫(x,ld=1m:(x,y)h D 2 注意: (1)先对y后对x的二次积分,计算时先把x看作常数, 对y积分得到关于x的函数,再对x在{a,b上积分,记为 fS 5(x, y)do=S ax pirlo(x,y)dy D (2)f(x,y)<0时公式仍成立 K心
o y z z = f (x, y) ( ) 1 x ( ) 2 x A(x) = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) x x A x f x y dy f x y d f x y dy dx b a x x D = ( , ) [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 注意： (1)先对y后对x的二次积分，计算时先把x看作常数， 对y积分得到关于x的函数，再对x在[a,b]上积分，记为 = ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) x x b a D f x y d dx f x y dy (2) f (x, y) 0时公式仍成立
(3)x-型区域:1(x)≤y≤q2(x),a≤x≤b y=p2(x) y=2(x) D y=p,(x) i y=.(x) b 特点:穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界的 交点不多于两个,利用先积后积x的次序计算二重积 分时,积分区域必须是x型区域 K心
(3)x −型区域:1 (x) y 2 (x), a x b ( ) y = 2 x a b D ( ) y = 1 x D a b ( ) y = 2 x ( ) y = 1 x 特点：穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界的 交点不多于两个，利用先积y后积x的次序计算二重积 分时，积分区域必须是x型区域
(4)类似地,D为y-型区域时,1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤d x=p,() x=φ1(y) x=2(y x=(p2(y) 特点:穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界的 交点不多于两个,利用先积x后积y的次序计算二重积 分时,积分区域必须是y型区域 此时(x,o=r(xyd D K心
(4)类似地, D为y −型区域时, 1 ( y) x 2 ( y), c y d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D 特点：穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界的 交点不多于两个，利用先积x后积y的次序计算二重积 分时，积分区域必须是y型区域. = D d c y y f x y d dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 此时
(5)若D既可表为x-型区域,又可表为y-型区域时,则 b ∫f(x,y)do= drrp2(x) b rV2(y) 1(x) f(x,y)小= y1(y) f(, y)dx D (6)若D既不是x-型区域又不是y-型区域时, 则把D分块得到一些x-型区域和y-型区域 K心
(5)若D既可表为x −型区域,又可表为y −型区域时,则 o x y a b cd o x y a b cd = = D ba yy dc xx f x y d dx f x y dy dy f x y dx ( ) ( ) ( ) ( ) 21 21 ( , ) ( , ) ( , ) . (6) , 则把 分块得到一些 型区域和 型区域 若 既不是 型区域又不是 型区域时 − − − − D x y D x y
(化重积份为次积矫,关键在手确定积分限+ 两次积分中,从左→右,y从下→华不能颠倒次序 计算二重积分的步骤: (1)画区域图; (2)列出x型或y型区域的不等式表示; (3)计算二次积分 (若一种次序积不出来时,换另一种次序)
o x y o x y D1 D2 D3 = + + D D1 D2 D3 D1 D2 D3 D4 D5 = + + + + D D1 D2 D3 D4 D5 , , , . (7) , . 两次积分中 从左 右 从下 上 不能颠倒次序 化二重积分为二次积分 关键在于确定积分限 x → y → 计算二重积分的步骤： (1) 画区域图; (2) 列出x型或y型区域的不等式表示; (3) 计算二次积分 (若一种次序积不出来时, 换另一种次序)
exl计算xya,D由直线y=,x=2及y=x围成 D Solution.(1)画区域图 (2)列出区域的不等式表示 x-型:1≤y≤x,1≤x≤2 y-型:y≤x≤2,1≤y≤2 (3)将二重积分表示成二次积分并计算 们=a=x,=2x2-1=号 或者』y=小吗h=y,d= 9 2 8 K心
ex1.计算 xyd , D由直线y 1, x 2及y x围成. D = = = Solution. (1)画区域图 (2)列出区域的不等式表示 x −型:1 y x,1 x 2 y −型: y x 2,1 y 2 (3)将二重积分表示成二次积分并计算 = D x xyd dx xydy 1 2 1 = 2 1 1 2 2 dx y x x = − 2 1 2 ( 1) 2 x dx x . 8 9 = = 2 2 1 y C xyd dy xydx . 8 9 2 2 1 2 2 = dy = x y y 或者 o x y y = 1 x = 2 y = x 2 1 1 2